Динамічна модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу

Модель, описана вище, є статичною, тобто не містить сценарію надходження позовів у часі. Вона фіксує лише взаємодію індивідуальних угод. У динамічній моделі фіксується взаємодія кількості позовів, що надійшли за різні проміжки часу, які не перетинаються, та ігнорується структура портфеля і взаємодія індивідуальних угод. Тому вона є прийнятною і для опису процесу позовів від окремої угоди, якщо угода за час своєї дії може призвести до декількох позовів (як це буває, наприклад, при страхуванні автомобілів).

Позначимо - кількість позовів, що надійшли за час (0; і)* Через цю величину можна виразити і більш складну величину у(і₁₍ £₂), яка дорівнює кількості позовів, що надійшли за проміжок часу (*_х; і₂). Зробимо такі припущення.

• 1. Процес надходження позовів є стаціонарним, тобто розподіл випадкової величини у(і₁₉ і₂) залежить від довжини і₃ проміжку (£(; і₂), що розглядається, і не залежить від його розташування на часовій вісі. Іншими словами, розподіл кількості позовів, що надійшли за будь-який проміжок (т;т + і), залежить тільки від і; позначимо Р_п (і) ~ Р(у(т, т + г) = л).
• 2. Процес є ординарним у тому сенсі, що надходження двох або більше позовів за малий проміжок часу Ді практично неможливе. Це твердження можна виразити рівністю P(v(t, т+Лг)^2) = о(Лг).
• 3. Процес надходження позовів не має післядії, тобто величини v(t,, t₂), v(f₂, t₉)_t...,v(t_n__l9 t_n) t_x 2<...n є незалежними. Ці величини виражають кількість позовів, які надійшли за проміжки часу, що не перетинаються.

Наведені припущення є досить природними як при описі надходження позовів від усього портфеля угод, так і при описі надходження позовів від індивідуальної угоди у випадку, коли угода за час своєї дії може призвести до декількох позовів.

Описана вище динамічна модель процесу позовів з необхід-

(XtY

ністю призводить до того, що для деякого X > 0 Р (г)=-е~^и,

.... пі

тобто розподіл кількості позовів, що надійшли за фіксований

проміжок часу, обов'язково є пуассонівським (доведення цього твердження можна знайти у праці Г.І. Фаліна¹). Параметр X називається інтенсивністю процеса v(r) і знаходиться як середнє число позовів в одиницю часу.

Зазначимо найбільш важливі властивості пуассонівського процесу.

• 1. Інтервали між надходженнями позовів мають однаковий експоненціальний розподіл з параметром X.
• 2. Ймовірність надходження позову за малий інтервал часу (t, t + h) не залежить від надходження позову до моменту t і дорівнює Xh + o(li).
• 3. Інтервали часу між надходженнями позовів - незалежні випадкові величини.
• 4. Момент Т_п надходження (подання) п-го позову має гам-ма-розподіл з параметрами X та а = п (розподіл Ерланга), тоб-

X^я

то щільність Т_п має вигляд (х)=-- o x*~^le~ , х > 0.

б. Якщо відомо, що на інтервалі (0, І) був поданий позов, то момент його подання має рівномірний розподіл на інтервалі

(0,г), тобто P(Tj <x/v(r) = l)=*, для 0<x<t.

Від'ємний біноміальний розподіл

Зазвичай X визначається деякими додатковими факторами. Наприклад, при страхуванні автомобілів X залежить від кількості днів з поганою погодою. Оскільки остання величина є випадковою, то природно внести до моделі, що розглядається, поняття зовнішнього випадкового середовища. Математично це означає, що параметр X є випадковою величиною з деякою щільністю розподілу ґ_к(х).

Тому, якщо ми хочемо обчислити розподіл кількості позовів у цій моделі, слід усереднити розподіл Пуассона я, = тс_і (Л.) відповідно до міри /_х(х). Іншими словами, розподіл кількості позовів задається формулою

ао тс

щ =Мщ(Х) = /*,(*)o£(*)<**= Р-е-'Д (*)<**o (22.1)

0 о ¹*

Крім того, як зазначалось вище, пуассонівський розподіл виникає і у разі аналізу кількості позовів за деяких видів індивідуальних угод, наприклад, угод страхування автомобілів. У цій ситуації параметр X розподілу Пуассона описує індивідуальні особливості власника угоди і змінюється від угоди до угоди. Припустимо, що портфель містить N угод, які можуть бути розбиті на деяку кількість к груп з більш-менш однорідними показниками частоти аварійності. Це розбиття може враховувати вік автомобіля, складність маршрутів його поїздок тощо та в узагальненому вигляді зводиться до того, що кількість позовів, викликаних угодами з і-ї групи, відповідає розподілу Пуассона з одним і тим самим параметром Х_г Нехай

- кількість угод в 1-й груш, а_х =-- - частка угод 1-го типу в загальному портфелі. Якщо ми розглядаємо навмання вибрану угоду і не знаємо, до якої групи вона належить, то розподіл кількості позовів, які виникають за проміжок часу, що розглядається, е таким: п_л = ^ Р(у = п / угода належить до і-ї групи) х

х Р (угода належить до і-ї групи) = V--а. = М -е~^х , де

і л! ^д! )

середнє береться за розподілом а,.

Якщо кількість угод велика, то природно описувати розподіл їх за типами за допомогою деякого неперервного розподілу з щільністю f_k{x). Тоді розподіл кількості позовів за проміжок часу, що розглядається, для випадково обраної угоди буде знову мати вигляд (22.1).

Припустимо, що параметр X має гамма-розподіл з парамет-

рами р і а, тобто £(*)=--x^a~^le~**₉ х>0. Як ми зазначали,

Г(а)

гамма-розподіл добре описує ситуацію, коли значення параметра X коливаються навколо деякого значення Х₀; дуже маленькі та дуже великі значення X хоча й можливі, але малоймовірні. Як частинні та граничні випадки воно містить багато інших розподілів. Підставивши щільність розподілу f_x(x) до рівняння (2.1), після нескладних перетворень¹ отримаємо формулу для розподілу кількості позовів

a(a + l)-...(g + i-l)

к, =---р q , (22.ї)

і!

де р = , а=-. Розподіл (22.2) називається від'ємним бі-

р+1 р+1

номіальним розподілом з параметрами р і а. Середнє значення кількості позовів v дорівнює Мv = --, її дисперсія Dv=-

Зазначимо, що для від'ємного біноміального розподілу

Mv .

Dv=-, і тому дисперсія завжди більша за середню. Вико-

Р

ристання реальних статистичних даних свідчить, що від ємний біноміальний розподіл у більшості випадків краще описує ситуацію, ніж пуассонівський розподіл.

Приклад 22.1. У страховій компанії застраховано 10 000 клієнтів на випадок хвороби. Протягом року було зібрано статистику про кількість позовів, що були подані власниками страхових полісів. З'ясувалося, що 8103 клієнта взагалі не зверталися з позовами, 1515 звернулися до компанії один раз, 331 - двічі, 39 - тричі, 10 - чотири рази та двоє клієнтів звернулися з позовами п'ять разів.

Спробуємо спочатку описати дані за допомогою пу ассонівсь-кого розподілу. Враховуючи, що математичне сподівання величини позовів для пуассонівського розподілу М = Х> для

оцінки параметру X візьмемо вибіркове середнє х--у*х,, де

д=10 000 - кількість клієнтів; х₁ - кількість позовів від і-го клієнта. Для даних задачі х = 0,2344 .

Складемо таблицю, яка містить реальні дані за кількістю угод та дані, обчислені за пуассонівською моделлю. Кількість клієнтів, що звернулися до компанії з кількістю позовів і,

X^і

дорівнює тис,, де тс, =-е'^х - ймовірність того, що кількість позовів для цього клієнта буде дорівнювати і.

Таблиця 22.1

Як бачимо, пуассонівська модель погано описує реальні дані. Справді, вибіркова дисперсія

*-1£Ґ

дорівнює для наших даних 0,285, що більш ніж на 20 % перевищує вибіркове середнє, тоді як для розподілу Пуассона математичне сподівання та дисперсія збігаються.

Для від'ємного біноміального розподілу дисперсія більша за математичне сподівання, тому знайдемо параметри а та р цього розподілу. Застосуємо метод моментів, тобто прирівняємо математичне сподівання і дисперсію від'ємного біноміального розподілу до вибіркового середнього х та дисперсії з²: р р

звідки можна визначити параметри р та а:

х х²

р = 4*0,82221, а = -~"1,084.

Побудуємо табл. 22.2, яка містить реальні дані про кількість позовів та дані згідно з від'ємним біноміальним розподілом.

Таблиця 22.2

Як бачимо, тепер співвідношення між реальними та теоретичними даними значно покращилося.

Висновки

• 1. Для побудови моделей процесу позовів використовується апарат теорії ймовірностей та випадкових процесів.
• 2. Для знаходження розподілу кількості позовів за фіксований проміжок часу використовуються біноміальний та пуас-сонівський розподіли.
• 3. За умов стаціонарності, ординарності та відсутності післядії динамічна модель для кількості позовів за фіксований проміжок часу зводиться до пуассонівського процесу.
• 4. Якщо параметр пуассонівського розподілу у статичній моделі для кількості позовів за фіксований проміжок часу є випадковою величиною, то його рандомізація за відповідних умов приводить до від'ємного біноміального розподілу.
• 5. Від'ємний біноміальний розподіл у деяких випадках більш точно описує розподіл кількості позовів за фіксований проміжок часу, ніж пуассонівський розподіл.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Процес позовів; статична модель для числа позовів за фіксований проміжок часу; динамічна модель для числа позовів за фіксований проміжок часу; пуассонівський розподіл; пуассонівський процес; від'ємний біноміальний розподіл.