Нетто-резерви

Позначимо через _%Ь різницю в момент £ поточної вартості майбутніх страхових виплат і поточної вартості майбутніх внесків. Нетто-резерв (резерв нетто-премій) у момент ї позначається символом у і визначається як умовне математичне сподівання величини ₍£ при Т > *.

Нетто-резерв наприкінці к-го року становить¹

У = І>**м^и'⁺¹ іРтДшлц "Е^П*₊У /А*. (^2б-⁸⁶>

де с_/ - страхова сума на у-й рік після видачі поліса, що сплачується щорічними преміями І7₀,17,, ІТ₂, П_к, які вносяться в моменти 0, 1, 2, к.

Для довічного страхування нетто-резерв у кінці &-го року становить²

• 1
• (25.37)

Для дробових частин року Л + ц (Дг - ціле, 0 < и < 1) нетто-

резерв визначають так 1-й

з.

У =

• 1
• (^+п_Л)(і+0^в +

і-

_Л+1^и^1и. (25.38)

Приклад 25.6. Розглянемо довічний ануїтет для людини віку а: (щорічні виплати дорівнюють 1). Коефіцієнт дисконтування и = 0,9. Ймовірність прожити більше 6 років починаючи з віку х та прожити більше 4 років, починаючи з року х + 2, вважатимемо досить малими.

Визначити нетто-резерв наприкінці другого року. Скористаємось формулою (25.37): АГ =1--. Разові нет-

то-премії ануїтетів можна обчислити за формулою (25.24), вважаючи всі доданки для і > 5 досить малими:

=ХУ іР" = Х^и< і А +(°>⁹)⁴ -0,3+(0,9)⁶ 0,1. Перший дода-

нок обчислено у прикладі 25.4:

а_х =2,511 + 0,1968 + 0,059 = 2,767.

"х₊2=Е^_<р_я+2=(0,9)°0,7 ₊ (0,9)^І.0,5+

(=0

+ (0,9)² o 0,3 + (0,9)³ o0,1 = 1,4659.

Таким чином, нетто-резерв у кінці другого року

_Л=1-М5Ё£₌₀,5298. ² * 2,767

Висновки

• 1. Моделі страхування життя призначені для зменшення фінансових наслідків такої випадкової події, як передчасна смерть. Через довгостроковий характер цього виду страхування величина інвестиційного доходу, що отримується аж до моменту виплати, зумовлює великий елемент невизначеності. Ця невизначеність має дві причини: невідома прибутковість і невідома тривалість інвестиційного періоду.
• 2. Страхові угоди з виплатами в момент смерті можуть бути здійснені за допомогою декількох стандартних видів страхування: страхові угоди з постійними страховими виплатами, змішане страхування, відстрочене страхування, страхування зі змінними виплатами.
• 3. На практиці більшість виплат проводяться у момент смерті, відсотки нараховуються до того моменту, як виплати будуть реально проведені. Але найточнішою інформацією про розподіл тривалості майбутнього життя страхувальника є таблиця смертності, в якій інформація дискретна.
• 4. Для страхових компаній є дуже важливими моделі страхування життя, в яких величина і час виплат на випадок смерті залежать тільки від кількості повних років, прожитих страхувальником з моменту укладення угоди до моменту його смерті, - угоди з виплатами, здійснюваними наприкінці року смерті.
• 5. Розглянуто поняття прямого довічного ануїтету, нетто-премій та нетто-резервів, а також функції корисності та принципу еквівалентності. Показано зв'язок між нетто-преміями та нетто-резервами.

Навчальний тренінг

Основні терміни і поняття

Страхування життя, страхові угоди з виплатами в момент смерті; функція виплат; функція дисконтування; функція поточної вартості; страхові угоди з постійними страховими виплатами; актуарна поточна вартість страхування; змішане страхування; страхування на дожиття строком на п років; змішане страхування строком на п років; відстрочене страхування; страхування, відстрочене на т років; страхування зі змінними виплатами; безстрокове страхування на випадок смерті з щорічно зростаючими страховими виплатами; безстрокове страхування на випадок смерті зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік; страхування на випадок смерті строком на п років зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік; страхування на випадок смерті строком на п років з щорічно спадаючими страховими виплатами; страхові угоди з виплатами наприкінці року смерті; річна вартість страхування; страхові ануїтети; прямі довічні ануїтети; нетто-премії; функція корисності страхувальника; принцип еквівалентності; нетто-резерви.