Змішане страхування

Страхування на дожиття строком на п років передбачає виплату після закінчення п років лише тоді, коли застрахований буде живий після п років з моменту укладення страхової угоди. Якщо сума, що буде виплачена, становить 1, то

' г0,г^д, (0,Т<п,

' [1,г>ті, ¹ |и^л,Г>л.

Єдиним елементом невизначеності у страхуванні на дожиття є факт того, відбудеться чи не відбудеться страхова виплата. Розмір і час здійснення виплати за умови, що виплата відбудеться, визначені заздалегідь. У виразі Z = u*Y величина У є індикатором події "дожиття до віку х + я". Ця величина набуває значення 1, якщо застрахований доживе до віку х + п, і значення 0 у протилежному випадку. Для позначення актуарної поточної вартості страхування на дожиття строком на п років є два символи. У контексті страхування це величина А_х~.¹. У наступному підрозділі ми побачимо, що в контексті ануїтетів ця величина позначається через _ЛЕ_Х.

Д[2]=о"і>т=и""р_{х п}д_г =² АЛ -(А^У- (25.6) Змішане страхування строком на п років передбачає виплату після смерті страхувальника або після дожиття до д-річ-ного віку залежно від того, що сталося раніше. Якщо розмір виплати - 1 і виплати на випадок смерті здійснюються в момент смерті, то

ь,=і,г£0, о, = _я г= _п

[и^п,г>7і, [и",Т>п. Актуарна поточна вартість позначається через А_х-. Окрім того,

ОД=²Л_жвГа_жВІ)². (25.7)

Таке страхування можна розглядати як комбінацію страхування на випадок смерті строком на п років і страхування на дожиття строком на п років - у кожному випадку з виплатою розміром 1. Нехай 2,, 2₂ і 2₃ - випадкові величини, що позначають поточну вартість угоди строкового страхування, страхування на дожиття і змішаного страхування відповідно, в кожному з яких страхова виплата здійснюється в момент смерті особи (х). Тоді з попередніх визначень:

_Іо^г,Г<и, ГО.Т^л, _Ги^т,Т£л,

¹~[0,Т>п, ²~[о^п,Т>п, ⁸ [оТ>д. Очевидно, що

Яз^+Я,, (25.8)

і порахувавши математичне сподівання обох частих, отримаємо

За допомогою рівняння (25.8) знайдемо 2)[£₃]:

2)[^₈]=2>[^₁]+2)[^₂]+2Соу(^і" (25.10)

Оскільки соо(г₁₉ г₂)=м[г₁ г₂]-м[г₁]Е[г₂]

і Z_l Z_г = 0 для всіх Т, то

^{сои(гг, г^-оддаг.]--^ - (б.іі)}

Підстановка формул (25.4), (25.6) і (25.11) у (25.10) дає формулу для D[Z₃] у термінах актуарної поточної вартості для страхування на випадок смерті строком на п років і для страхування на дожиття.

Відстрочене страхування

Страхування, відстрочене на т років, передбачає виплату відразу після смерті страхувальника лише в тому випадку, якщо він помре не раніше ніж через т років після укладення страхової угоди. Сума, що виплачується, і строк, на який укладено угоду, можуть бути будь-якими зі згаданих вище. Наприклад, безстрокове страхування на випадок смерті, відстрочене на т років, з виплатою на час смерті страхувальника суми, що дорівнює 1, визначається співвідношенням

' [0,"<т, ¹ {0,Тйт.

Актуарна поточна вартість такого страхування позначаєть-

ся через _т1А_х і дорівнює _МА_Х = ]и' * _Ір_х -и_х(г)<&

т

Приклад 25.3. Розглянемо безстрокове страхування на випадок смерті, відстрочене на чотири роки, з виплатою в момент смерті особи (х). Інтенсивність смерті ц для цієї особи дорівнює 0,05. При 6 = 0,10 для розподілу поточної вартості виплат підрахуємо математичне сподівання та дисперсію.

Для будь-яких ц і 6

⁴¹ * і ^ ц + 6 Тому для ц = 0,05і6 = 0,10

Л_хж!*** =0,1836, Я[2] =-^-_е^о.о₅₊о.2о>_ 1 -,._{2 =0 04}

¹ 3 0,05+0,20 9

Страхування зі змінними виплатами

Загальну модель, що визначається формулою (25.1), можна використати в більшості застосувань. Ми використали її стосовно угод страхування життя з постійними виплатами. Також вона може застосовуватись до угод страхування, в яких величина виплат на випадок смерті або зростає, або спадає в арифметичній прогресії протягом усього строку дії страхової угоди або частини цього строку. Цей страховий продукт часто пропонується як додаткове покриття, коли основна страхова угода забезпечує повернення премій, що періодично сплачуються, в момент смерті, або коли ануїтет містить гарантію того, що виплати будуть відповідати обумовленій у цій угоді початковій премії.

Безстрокове страхування на випадок смерті з щорічно зростаючими страховими виплатами, відповідно до яких сплачується 1 у момент смерті протягом першого року, 2 в момент смерті протягом другого року і т. ін., характеризується такими функціями:

Ь|-[" + 1], *£0, о₍=и'₍ і£0, 2=[Т + 1]о^т, Т£0, де [а] позначає цілу частину числа а.

Актуарна поточна вартість для такого страхування позна-

чається через (ІА)_Х і дорівнює М[2]= |[г+1]и' o ,р_х|і_я(г)Л

о

Збільшення страхової виплати, зазначеної в страховому договорі, можуть відбуватися частіше або рідше ніж один раз на рік. Для безстрокового страхування на випадок смерті зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік, випла-1

ти становлять - у момент смерті протягом першого з т штер-

т о

валів, на які буде поділений рік, - в момент смерті протягом

т 1

другого такого інтервалу і т. ін., збільшуючись на - в кожно-

т

му наступному інтервалі. Для такого страхування життя

т т

Актуарна поточна вартість - це

(Ґ^т)А)_х = М[2Г.

Граничний випадок при т -> со для безстрокового страхування на випадок смерті зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік, є страхуванням з виплатою суми £ в момент смерті і. Відповідні функції мають вигляд Ь₍ =г, і>0, о, =іУ, г^0, 2 = То⁷', Г>0.

У цьому випадку актуарна поточна вартість позначається через (ІА)_Х. Таке безстрокове страхування на випадок смерті з неперервним збільшенням розміру виплат еквівалентне множині угод безстрокового відстроченого страхування на випа-

док смерті з постійними виплатами¹. З цієї еквівалентності випливає, що актуарні поточні вартості для зазначених страхувань однакові. Тобто

ас ао

• (ТА), ^{= /*о' o ,р,цж(*)<" = І4А.аі1-}
• 0 0

Якщо за будь-якою з таких угод зі збільшенням розмірів виплат т разів на рік виплата на випадок смерті відбудеться лише у випадку, якщо смерть настала не пізніше ніж через п років з моменту укладення угоди, то ця угода називається угодою страхування на випадок смерті строком на п років зі страховими виплатами, що зростають т разів на рік.

У певному сенсі протилежними до угод страхування на випадок смерті строком на п років з щорічно зростаючими виплатами є угоди страхування на випадок смерті строком на п років з щорічно спадаючими страховими виплатами, згідно з якими в момент смерті, що сталася у першому році, виплачується сума п, у момент смерті, що сталася у другому році, - сума п-1 і т. д., так, що виплата стає нульовою по закінченні п-го року. Такій угоді відповідають функції

о. =< _Л и, = о , г > 0, £ = <

' [ 0,і>п, 1 0,Т>п.

Актуарна поточна вартість такої угоди страхування:

_{(^Чіч ■ )и< о"-ю>- "ял <*>л.}

о

Ця угода є протилежною до угоди страхування на випадок смерті строком на п років з виплатами, що щорічно збільшуються, в тому розумінні, що сума їх функцій виплат є постійною і дорівнює п + 1 для строку в п років.

Усі наведені вище позначення для страхових угод з виплатами в момент смерті зведемо в одну таблицю (табл. 26.1).