Малый параметр

Метод малого параметра применяется во многих областях науки и техники, например, теоретической физике, теории детерминированного хаоса, трудно сказать, где он не применяется. В книге Блехмана, Мышкиса и Пановко отмечено, что "метод возмущений является в прикладной математике одним из самых распространенных".

Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики. - М.: Мир, 1983 . Найфэ А. Введение в методы возмущений. - М.: Мир, 1984 . Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. - М.: Наука, 1994.

Методу возмущений посвящено большое число монографий, например, монография Найфэ, в которой приведено множество примеров. Здесь мы рассмотрим только один простой пример - одну из наиболее известных и полезных задач - задачу о ангармоническом осцилляторе. Нулевое приближение этой задачи - одномерный гармонический осциллятор ("шарик описывается линейным уравнением

на пружинке"),

где т - масса, к - жесткость пружины, х - отклонение от положения равновесия, Г = —кх -закон Гука.

Это уравнение удобно записать в виде:

где

- циклическая частота.

В таком виде это уравнение описывает огромный класс явлений, не только "шарик на пружинке", но и маятник (в этом случае х - угол отклонения), колебания в ЬС-контуре (х - заряд конденсатора) и многое другое.

Решение уравнения (2), как легко убедиться простой подстановкой

Где -начальная фаза - амплитуда.

Возможны ситуации, когда линейного приближения недостаточно и закон Гука должен быть заменен на более сложный, нелинейный

где предполагается, что каждый следующий член разложения много меньше предыдущего, т.е.

Вообще говоря, (3.1.4) это следствие разложения в ряд Тейлора потенциальной энергии и(х), напомним, что сила

Колеблющаяся частица находится в потенциальной яме и в простейшем случае, когда яма параболическая имеет место закон Гука.

В более общем случае, учитывая только два первых слагаемых в разложении (3.1.4) вместо уравнения гармонического осциллятора (3.1.1) получаем нелинейное уравнение

Решение которого в аналитическом виде не представляется возможным.

Для дальнейшего удобно записать (3.1.6) в безразмерном виде

где

- безразмерная координата, а т - время, и - безразмерный параметр, который в принятом приближении

и является малым параметром

Приближенное решение уравнения (3.1.7) будем искать в виде разложения по малому параметру

Подставляя (5) в (4) получаем

В нулевом приближении по малому параметру, т.е. оставляя в (3.1.9) только слагаемые с в0 и отбрасывая все слагаемые с и т.д. имеем

Линейное уравнение (уравнение гармонического осциллятора), решение которого можно записать в виде

В первом приближении по малому параметру в в (3.1.9) откидываются слагаемые с в2 и выше и получаем

Это уравнение линейно по а функция найдена ранее (3.1.11). Решение уравнения (3.1.12)

имеет вид

Ограничиваясь первым приближением по в для (3.1.9) имеем:

Или возвращаясь от безразмерного вида к первоначальным обозначениям

Таким образом, решение нелинейного уравнения методом малого параметра свелось к последовательному решению линейных уравнений.

Уже первое приближение по малому параметру (3.1.15) позволяет сделать два нетривиальных вывода влияния ангармонизма:

• 1. кроме колебаний с частотой О, которые имеют место в линейном случае, появляются колебания с удвоенной частотой
• 2. средняя точка колебаний, которая в гармоническом осцилляторе была выбрана равной нулю, теперь смещена (см. второе слагаемое в (3.14.15)).