Паде-аппроксиманты и разложение по малому параметру

Паде-аппроксимацией функции /(х), разложенной в степенной ряд

называется дробно-степенная функция

такая, что при разложении в степенной ряд совпадает с разложением /(х) с точностью до коэффициентов при

Г. Стенли "Фазовые переходы и критические явления" М.: Мир, 1973.

За этим сухим определением скрывается идея, которая, вместе с тем, что очень проста, в ряде случаев дает возможность получить "фантастические результаты".

В качестве примера рассмотрим приближение функции tg х степенным рядом - рис. Это разложение, естественно не работает вблизи где расходится, поскольку полином не может расходиться (принимать бесконечное значение) при конечном значении аргумента. При малых значениях х разложение tg х по степеням х неплохо описывает tg х, однако чем ближе х к л 12 тем больше расхождение между функцией и разложением. Как видно из рис. увеличение числа слагаемых в разложении практически не улучшает ситуации вблизи л/2 . Так на рис. 3.3.1. нижняя линия - разложение tg х до 9-ой степени х:

вторая снизу до 15-ой степени, и наконец третья снизу до 29-ой степени, так, что последнее слагаемое этого разложения равно

Но даже разложение такое (которое вряд ли кто-то делал бы вручную) слабо помогает.

Посмотрим теперь, как с этой задачей справится метод аппроксимант Паде. Выберем его в виде:

т. е. в виде отношения полиномов не выше четвертой степени. Разложение /?(х) в степенной ряд по х имеет вид:

Сравнивая это разложение с разложением tg х

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной получаем систему уравнений для коэффициентов

а, Ь и с:

откуда

и, следовательно, аппроксиманта Паде для функции tg х имеет вид:

см. третью снизу кривую на рис. 3.3.1, самая верхняя кривая это функция tg х.

Рис. 3.3.1. Сравнение функции tg х, аппроксиматы Паде и двух разложений в ряд f15(х) (до 15-ой степени х) и f9(х) (до 9-ой). Графики функций расположены сверху вниз согласно обозначениям на вертикальной оси

Сравнение между собой tg х, R(х), f15(х) и f9,(х) показывает, что аппроксимант Паде всего четвертой степени много лучше описывает поведение tg х во всем диапазоне от 0 до π/2. И что очень важно описывает (пусть и не очень точно) расходимость вблизи π/2 .

Второй пример связан с реальной физической задачей -определения вязкости суспензии, представляющей собой жидкость с вязкостью µ0 в которой находятся жесткие частицы с концентрацией р.

Чем больше концентрация частиц, тем больше вязкость суспензии - те. Первым такую задачу для р << 1 решил А. Эйнштейн в 1905 году:

получив приближенное решение с точностью до первого порядка малой величины концентрации частиц.

Только через 67 лет, в 1972 г. Г. Бэтчелор и Дж. Грин (после весьма сложных вычислений) сумели получить следующее приближение

Построим теперь аппроксимант Паде для этих двух приближений.

откуда, согласно приближению А. Эйнштейна а = 5/2, и, следовательно:

откуда сразу же следует принципиально новый факт - при приближении р к определенному значению, в данном случае к рс = 2/5 эффективная вязкость Цс расходится. Такая расходимость действительно имеет место в реальности, эксперимент показывает, что при определенной концентрации жестких частиц жидкость перестанет течь.

Заметим, так же, что если разложить аппроксимант

Паде (3.3.13)

в ряд до

то получится неплохое второе приближение, где около р 2 стоит 25/4 " 6,25 вместо 5,2 ± 0,3 , полученного Бэтчелором и Грином.

Для уточнения рс - того значения, при котором эффективная вязкость становится очень большой можно построить аппроксимант Паде используя второе приближение, полученное Бэтчелором и Грином, предположив, что коэффициент при р2 равен точно 5 (рис.3.3.2).

откуда

и следовательно

что для

даст

Это значение очень хорошо согласуется с экспериментальным значением.

Рис. 3.2.2 - Эффективная вязкость. Нижняя линия -приближение Эйнштейна, выше нее - выражение Бэтчелора и Грина, еще выше - аппроксиманта Падэ приближения Эйнштейна, самая верхняя - аппроксиманта Паде приближения Бэтчелора-Грина