Повна версія

Головна arrow Екологія arrow Природний, техногенний та екологічний ризики: аналіз, оцінка, управління

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

Марківський процес

Багато випадкових процесів, які розглядають під час аналізу небезпеки потенційно небезпечних об'єктів, є окремим класом випадкових процесів, які називають марківськими.

Марківський процес – це випадковий процес, за якого подальша поведінка системи S після моменту часу t залежить тільки від стану системи в цей момент і не залежить від поведінки процесу в попередній період (до моменту часу t).

Перехідна ймовірність (перехідна ймовірнісна функція) Р(t, х, s, Е) – ймовірність того, що система, перебуваючи у момент часу t у стані x, у момент часу s > t потрапить в один зі станів множини Е.

Якщо x – скінченний або зліченний фазовий простір, а час неперервний, то перехідна ймовірність визначається функціями , що дорівнюють умовній ймовірності того, що система знаходиться в j-му стані в момент s, якщо в момент t вона знаходилася в i-му стані. Тобто перший індекс завжди визначатиме попередній стан, а другий показує, в який стан перейде система в наступний момент часу.

Дискретний чи неперервний випадковий процес х(0 називають простим марківським процесом, якщо для кожної скінченної множини

(4.1)

або

відповідно.

Повна ймовірнісна картина можливих змін, що відбуваються внаслідок переходу з одного стану безпосередньо в наступний, задається матрицею

складеною з ймовірностей переходу, яку називають матрицею переходу. Зауважимо, що елементи матриці невід'ємні, а сума елементів будь-якого рядка дорівнює 1.

Марківський процес цілком визначається своїм розподілом ймовірностей другого порядку, й отже, може бути заданий розподілами ймовірностей першого порядку і ймовірностей переходу

(4.2)

Марківські випадкові послідовності часто називають ланцюгами Маркова [25].

Багато фізичних процесів можна описати як марківські. Так, прикладами марківських випадкових послідовностей є багаторічні коливання об'ємів стоку річок упродовж року, річних опадів тощо.

Важливий клас завдань полягає в пошуку функцій (4.2) за їхніми “початковими значеннями” при. Із властивості (4.1) марківського процесу випливає рівняння Колмогорова–Смолу- ховського–Чепмена [12]:

(4.3)

або

Рівняння (4.3) є різницевим рівнянням першого порядку, його можна розв'язати відносно невідомої функції (4.2) незалежної змінної t, якщо задано або . Якщо чи відомі, то марківський процес цілком визначений при всіх.

Марківська модель безпеки потенційно небезпечного об'єкта (типу АЕС). Оцінювання ймовірностей (кінцевих станів) потенційно небезпечного об'єкта в разі виникнення вихідних подій

  • (аварій) здійснюють за викладеною нижче методикою, що заснована на марківській моделі безпеки, схема якої стосовно найскладнішого об'єкта – АЕС наведена на рис. 4.7. На ньому використано такі позначення:
  • • символами “0” – “l, 0” позначено безпечні стани, тобто такі, в яких значення радіаційних показників не перевищують установлені норми; у ці стани входять за нормальної експлуатації – “0” і стани – “1, 0” – “l, 0”, що реалізуються за проектного перебігу аварій, коли виникнення вихідних подій супроводжується виконанням усіх необхідних функцій безпеки;
  • • символами “1, 1” – “n, 1” позначено стани з порушенням безпеки, що виникають або внаслідок запроектних вихідних подій, або внаслідок невиконання однієї чи кількох функцій безпеки за проектних вихідних подій (n – повне число аварійних послідовностей з порушенням безпеки);
  • • символами λ10 – λn1 позначено інтенсивності переходів у відповідні стани;
  • • символами – μ, позначено інтенсивності переходів із безпечних станів проектних вихідних подій у стани нормальної експлуатації.

У цій моделі передбачено, що стани з порушенням безпеки є поглинаючими, тобто відновлення нормальної експлуатації АЕС за їх реалізації або неможливе, або недоцільне.

Інтенсивність переходу в стан “i, 0” описує формула

де – інтенсивність (частота) i-ої ВП;– функція ймовірності виконання всіх необхідних функцій безпеки в разі і-ї вихідної події.

Марківська модель безпеки АЕС [12]

Рис. 4.7. Марківська модель безпеки АЕС [12]

Інтенсивність переходу в стан “і, 1” з порушенням безпеки за і-ї вихідної події внаслідок невиконання однієї чи кількох функцій безпеки, що призводять до реалізації i1-ї аварійної послідовності, визначають за формулою

де – функція ймовірності невиконання функцій безпеки

для і-ї аварійної послідовності або функція умовної ймовірності реалізації i-ї аварійної послідовності.

Ймовірність реалізації i-го стану з порушенням безпеки визначають за формулою

(4.4)

де – ймовірність реалізації безпечного стану;– ви

значають за методами “дерево подій” і “дерево відмов”, які можна вважати окремими випадками марківських процесів, відповідно до методик, викладених у розд. 6; Т – розглянутий інтервал часу експлуатації ПНО (АЕС);– час приведення блока в безпечний стан у разі виникнення і-ї вихідної події.

Оскільки тяжкі аварії є вкрай рідкісними подіями, ймовірність реалізації безпечного стану АС близька до одиниці.

або , тому формулу (4.4) можна записати так:

(4.5)

Формула (4.5) відповідає консервативній (максимальній) оцінці і рекомендується як основна залежність для оцінки ймовірностей кінцевих станів із порушенням безпеки.

 
<<   ЗМІСТ   >>