Класифікація математичних моделей

Математичні моделі, що становлять абстрактну частину спектру (рис. 7.2), з метою зручності їхнього використання в різних галузях, у тому числі і у логістиці, класифікують за шістьма найбільш представницькими ознаками:

• – способу одержання моделі;
• – способу опису або подання об'єкта чи його властивостей;
• – способу формалізації об'єкта або його властивостей;
• – приналежності до ієрархічного рівня;
• – ступеня масштабності опису об'єкта або його властивостей;
• – ступеня складності опису об'єкта або його властивостей.

За способом одержання моделі діляться на теоретичні, нейронні (персептрони) і емпіричні.

Теоретичні моделі виводяться математично на основі знання первинних законів класичної механіки, електродинаміки, хімії і т.д. Моделі, що одержані з реального життя на основі статистичної обробки результатів спостережень, формують групу емпіричних. Проблема побудови емпіричної моделі включає і вибір форми цієї моделі, що підходить, а також розумного ступеня її складності, що сумісний з наявними експериментальними даними.

За останні роки в області моделювання економічних процесів все більшого значення набувають нейронні моделі (персептрони). Нейронна модель (персептрон) складається з бінарних нейроподібних елементів і має просту топологію.

Найпростіший персептрон містить у собі матриці бінарних входів (сенсорних нейронів або сітківки, куди подаються вхідні образи), набору бінарних нейроподобніх елементів з фіксованими зв'язками до підмножин сітківки, бінарного нейроподібного елемента з модифікованими зв'язками до цих предикатів (елементів, що рішають).

Попередньо персептрон використовувався для рішення завдання автоматичної класифікації, що загалом складається в поділі простору ознак між заданою кількістю класів. У сьогоднішніх умовах на рівні нейронних мереж можна вирішити проблему логістичного прогнозування, яка формалізується через завдання розпізнавання образів.

Розглянемо наступний приклад. Є дані по поточному попиту на продукцію фірми за шість років (Ас = 6): 71, 80, 101, 84, 60, 73.

Для формалізації задачі використаємо метод вікон. Задамо розміри вікон η = 3, т = 1 і рівень збудження нейроподібного елементу s = 1. Далі, за допомогою методу вікон із уже фіксованими параметрами n, т, s для нейронної мережі генерується наступна навчальна вибірка:

Як бачимо, кожен наступний вектор утворюється у результаті зсуву вікон Wі й W0 вправо на один елемент (s = 1). При цьому передбачається наявність схованих залежностей у тимчасовій послідовності як множині спостережень.

Нейронна мережа, навчаючись на цих спостереженнях і відповідно набудовуючи свої коефіцієнти, намагається витягти ці закономірності і сформувати в результаті очікувану функцію прогнозу, тобто "побудувати" модель. Прогнозування здійснюється за тим же принципом, що і формування навчальної вибірки.

За способом опису об'єкту моделі діляться в такий спосіб:

• 1) алгебраїчні;
• 2) регресійно-кореляційні;
• 3) ймовірнісно-статистичні, що об'єднують в собі моделі теорії черг, моделі запасів і статистичні моделі;
• 4) математичного програмування – лінійного програмування, мережеві (потокові).

Відносно першої групи моделей – алгебраїчних, необхідно відразу обмовитися, що вони по суті своїй для логіста носять допоміжний характер для прийняття правильного рішення. Алгебраїчні моделі використовуються звичайно при рішенні таких завдань, як аналіз "критичної точки" і аналіз "витрати – прибуток".

Регресійно-кореляційні моделі, що представляють другу групу, є узагальненням екстраполяційних і статистичних моделей і використовуються для опису специфіки об'єкта або його властивостей.

Третю групу становлять ймовірнісно-статистичні моделі, що засновані на фенологічних явищах і гіпотезах. Дані моделі можуть бути детермінованими або стохастичними. Так, наприклад, залежність У = φ(Χ), що установлена за результатами спостережень випадкових величин X і У методом найменших квадратів, являє собою детерміновану модель. Якщо ж урахувати спостережувані в результаті дослідів випадкові відхилення експериментальних точок від кривої У=φ(Х) і записати залежність У від X у виді В = φ(Χ) + Ζ, (де Ζ – деяка випадкова величина), то отримаємо стохастичну модель в її ідеальному виразі.

При цьому величини X і У можуть бути як скалярними, так і векторними. Функція φ(Χ) може бути як лінійною комбінацією даних функцій, так і даною нелінійною функцією, параметри якої визначаються методом найменших квадратів.

Моделі лінійного програмування усе ширше використовуються для рішення завдань логістичної спрямованості.

Хто знайомий з математичним програмуванням, той знає, що її вирішити в загальному виді практично неможливо. Однак найбільш розробленими в математичному програмуванні є задачі лінійного програмування.

У задачах лінійного програмування цільова функція лінійна, а умови-обмеження містять лінійні рівності і лінійні нерівності; змінні можуть бути підлеглі або не підлеглі вимозі незаперечності.

Для демонстрації простоти рішень логістичних задач за допомогою лінійного програмування звернемося до двох відомих задач:

• – перша – про бабку, що збирається на ринок, щоб продати живність, яка виросла у неї на подвір'ї за рік;
• – друга – про харчування.

Задача перша (про бабку)

Суть даної задачі зводиться до одержання відповіді на просте питання: "Скільки треба взяти бабці для продажу на ринку живих гусаків, качок і курей, щоб вона одержала найбільший виторг за умови, що вона може доставити на ринок живності масою не більше Р кг ?". При цьому відомі:

• – маса курки (т,), качки (т2) і гусака (т3);
• – вартість курки (с7), качки (с2) і гусака (с3).

Розглянемо алгоритм рішення задачі.

• 1. Для рішення задачі позначимо кількість, відповідно, курей – х1 качок – х2, гусаків – х3, узятих бабкою для продажу на ринок.
• 2. Складемо цільову функцію до цієї задачі:

3. Опишемо обмеження на рішення задачі.

Маса товару, що бабка може доставити одночасно на ринок, не повинна перевищити Р кілограм:

Значення, і повинні бути позитивними цілими числами (), тобто:

Виконавши три описаних кроки, одержуємо задачу лінійного програмування. Підставляючи вихідні значення х, т, с і Р, знаходимо відповідь на поставлене питання.

Задача друга (про харчування)

Кафе "Бістро" щодня в магазині закуповує продукти харчування для приготування певних блюд для своїх відвідувачів. У раціон входять три різних живильних речовини (b) і потрібно їх, відповідно, не менш b1, b2, b3 одиниць. У магазині продається п'ять видів різних продуктів х1 – х5 за ціною, відповідно, С-І – с5.

Кожна одиниця продукту і-го виду (хi) містить аіj одиниць j-ї живильної речовини, тобто, наприклад, а2з показує, що в одиниці другого продукту третьої живильної речовини буде а23 одиниць.

Оскільки кафе функціонує в оточенні конкурентів, необхідно правильно визначити кількість продуктів кожного виду х1 – x5, які варто закупити. При цьому треба виконати наступні умови:

• 1) щоб вартість продуктів була мінімальною;
• 2) щоб у раціоні блюд у потрібній кількості містилися всі необхідні живильні речовини.

Математична постановка рішення задачі буде наступна:

1. Цільова функція даної задачі – мінімізувати вартість продуктів х1 – х5. Математично це буде виглядати в такий спосіб:

• 2. Умови обмеження рішення задачі:
  • а) кількість першої живильної речовини повинна бути не менш b1,:

б) кількість другої живильної речовини повинна бути не менш b2:

в) кількість третьої живильної речовини повинна бути не менш b3:

При цьому варто мати на увазі, що кількість продуктів не може мати негативне число, тобто:

Далі, одержавши задачу лінійного програмування і вирішуючи систему нерівностей, знаходимо оптимальний результат.

Для правильного розуміння рішення наведеної задачі розглянемо наступний приклад.

Нехай у даній задачі будемо мати такі вихідні дані:

Цільова функція буде мати наступний вигляд:

Визначати мінімальне значення функції треба за умови виконання наступних обмежень:

Маючи на увазі, що кількість продуктів не може бути від'ємним числом, приймаємо, що

У результаті рішення задачі за представленими вихідними даними маємо наступну відповідь: і . При даних значеннях цільова функція буде мати наступне значення:

Мережні (потокові) моделі.

Важливим класом задач математичного програмування є так називані мережеві (потокові) задачі, у термінах яких можуть бути сформульовані задачі лінійного програмування.

Розглянемо як приклад так називану транспортну задачу (рис. 7.3), що є однією з перших потокових задач, яка була вирішена в 1941 р. Ф.Л. Хітчкоком.

Нехай є два заводи (1 і 2) і три склади (А, Б, В). Заводи виробляють, відповідно, s1 і s2 одиниць продукції. Склади мають можливість прийняти на збереження d1, d2 і d3 одиниць продукції, тобто:

.

Завдання полягає у тім, щоб мінімізувати витрати на перевезення продукції від заводів-виробників на склади. Задамо наступні вихідні умови. Припустимо, ЩО Хij – обсяг продукції, який необхідно перевезти з і-го заводу на j-й склад; с,- – вартість перевезення одиниці продукції з і-го заводу на j-й склад. Тоді цільова функція задачі – вартість перевезення, буде мати наступний вигляд:

Рис. 7.3. Мережа для рішення транспортної задачі

Умова того, що вся продукція буде транспортуватися з кожного заводу:

Дані рівності можна записати в короткій формі, а саме:

Умова заповнення складів має наступний вигляд: причому

Дана модель може бути описана за допомогою мережі, якщо припустити, що вузлами мережі є заводи і склади, а дугами – дороги для перевезення вантажу (рис. 7.3). Сформульована транспортна задача є окремим випадком задачі пошуку потоку мінімальної вартості в межах мережі.

Мережеві задачі застосовують при проектуванні і удосконалені великих і складних систем, а також за умови пошуку шляхів їх найбільш раціонального використання. У першу чергу, це пов'язано з тим, що за допомогою мереж можна досить просто побудувати модель системи. Останнє базується на ідеї критичного шляху (метод СРМ) та оцінці і засобах спостереження (наприклад, система PERT- Program Evalution Research Task).

Крім того, мережі дозволяють здійснити [2, с. 147 – 149]:

• – формалізацію моделі складної системи як сукупності простих систем (у цьому випадку логістичної системи як сукупності її підсистем і ланок – закупівлі, складів, транспортування, запасів, виробництва, розподілу і збуту);
• – складання формальних процедур для визначення якісних характеристик системи;
• – визначення механізму взаємодії компонентів керуючої системи з метою опису останньої в термінах її основних характеристик;
• – визначення даних, що необхідні для дослідження логістичної системи і її основних підсистем;
• – початкове дослідження керуючої системи, складання попереднього розкладу роботи її компонентів.

Основна перевага мережевого підходу полягає в тім, що він може бути успішно застосований до рішення практично будь-яких задач, коли можна точно побудувати мережеву модель.

Узагальнена характеристика математичних моделей, що класифікуються за способом опису об'єкта, наведена в табл. 7.3. У таблиці зазначені найбільш придатні області застосування даних моделей з попередньо позначеною точністю одержуваних оцінок. Дана інформація корисна логістам на етапі побудови моделей або вибору останніх для рішення проблеми, що виникла.

За характером відображуваних властивостей об'єкта моделі класифікуються на структурні і функціональні, які в сукупності відбивають взаємозв'язок і взаємовпливи окремих елементів на процеси, що протікають в об'єкті при його функціонуванні або виготовленні.

Структурні моделі призначені для відображення структурних властивостей об'єкта: складу, взаємозв'язку і взаємного розташування, а також форми компонентів.

Функціональні моделі призначені в більшій мірі для відображення процесів, що протікають в об'єкті при його функціонуванні або виготовленні, і, як правило, містять алгоритми, що зв'язують фазові змінні, внутрішні, зовнішні або вихідні параметри.

Таблиця 7.3

Характерні риси математичних моделей

За способом формалізації об'єкта: при складності наявних ситуацій виникає необхідність у спрощеному їх описі за допомогою аналітичних і алгоритмічних моделей, що належним чином

"абстрагують" обрані "істотні" властивості об'єктів і ситуацій. Комп'ютерна імітація реальних об'єктів – це цінний інструмент для аналізу складних систем сервісу, політики обслуговування і інвестиційного вибору.

Розподіл об'єктів на ієрархічні рівні приводить до певних рівнів моделювання, ієрархія яких визначається як складністю об'єктів, так і можливістю засобів управління. Тому, відповідно до приналежності до ієрархічного рівня, математичні моделі поділяються на мікро-, макро- і метамоделі. Відмінність даних моделей полягає в тому, що на більш високому рівні ієрархії компоненти моделі приймають вид досить складних сукупностей елементів попереднього рівня. Цими ж аспектами визначається і поділ моделей за ступенем масштабності і складності опису об'єкту.

Наведена класифікація моделей покликана допомогти логістам у більш оперативному і правильному прийнятті рішень з метою здійснення місії організації.