друга. Використання теорії систем для розв'язання екологічних задач

Елементи якісної теорії динамічних моделей екологічних систем

Особливості математичного моделювання екологічних процесів

Найбільш важливе застосування математики для побудови такої математичної моделі явища, що вивчається, в якій були б правильно відбиті його найбільш істотні риси. Зівставлення властивостей математичної моделі зданими експерименту служить необхідною умовою перевірки початкових гіпотез, що покладені в основу моделі. Зрозуміло, що побудова адекватної моделі можлива лише із залученням конкретних даних і уявлень про механізми складних екологічних процесів, що досягається на певному рівні дослідження. Проте результати навіть найтонших експериментів далеко не завжди дозволяють однозначно відповісти на питання про те, які ж дійсно рушійні сили, механізми екологічних процесів. У вирішенні цих питань математичні, моделі відіграють велику роль. Так, математичні моделі, що розкривають механізми взаємодій у біологічних циклах метаболізму, повинні базуватися на детальному знанні послідовності перетворення речовин й оцінці з експериментальних даних значень концентрацій і констант швидкостей їх взаємодії.

Вимога відповідності, або адекватності, математичної моделі та модельованого об'єкта не означає детального копіювання всіх властивостей останнього, що дуже б ускладнило модель, позбавивши її наочності і зробивши ускладненим її дослідження. Мова йде про те, щоб, не перенавантажуючи модель, зуміти відбити в ній дію найбільш істотних чинників, відповідальних за певні властивості екологічної системи, які цікавлять дослідника. Як правило, при побудові моделі практично немає вичерпного набору відомостей про внутрішню структуру об'єкта, а також точних значень параметрів, що входять у рівняння.

Виділення єдиних у функціональному відношенні підсистем як об'єктів моделювання є самостійним і часом досить важким завданням. Багато в чому тут надає допомогу ієрархічний характер організації живих систем, що складаються з ряду взаємодіючих, відносно автономних систем.

У процесі побудови моделі екологічних процесів необхідно проводити уточнення характеру зв'язків між взаємодіючими компонентами, так само як і значень параметрів, які на перших етапах можуть носити дуже орієнтовний характер. Подальша перевірка справедливості моделі полягає в такому варіюванні значень параметрів, яке максимально наблизило б поведінку моделі до оригіналу.

Вочевидь, на цьому шляху перевірці піддаються й початкові гіпотези, що покладені в основу моделі, які можуть за необхідності змінюватися. Таким чином, перевірка моделі, тобто порівняння ії поведінки з оригіналом у різних умовах функціонування, приводить до уточнення наших уявлень про суть і організацію модельованих процесів. Саме у цьому й полягає основна мета математичного моделювання.

На сьогодні в області математичного моделювання застосовується різний математичний апарат залежно від характеру екологічних процесів, що вивчаються і відповідних ним моделей.

Проблема кінетичної поведінки складної системи зводиться до побудови та аналізу математичної моделі, в якій швидкості зміни концентрації різних складних компонентів були б виражені через швидкості окремих елементарних реакцій, що беруть участь у їх утворенні та зникненні.

Припустимо, що в нашій системі є η різних компонентів. Кожне і-те з'єднання із загального їх числа η характеризується значенням концентрації с, (і = 1, 2, ..., п), яке може змінюватися з часом с, = c*(t) внаслідок взаємодії і-го з'єднання з будь-яким із решти (п – 1) речовин. Такого припущення досить, щоб ми могли скласти відповідну даній ситуації загальну математичну модель, яка є системою з η диференціальних рівнянь першого порядку:

(5.1)

де – невідомі функції від часу – швидкість зміни концентрації і-ї речовини.

У цій моделі число рівнянь η дорівнює кількості змінних речовин, що змінюються внаслідок взаємодії. Кожна з функцій є функцією аргументів , залежних від часу, і самого часу t і є алгебраїчною сумою швидкостей окремих реакцій створення та зникнення і-ї речовини в системі.

Ми здебільшого розглядаємо системи рівнянь першого порядку, що містять перші похідні за часом від початкових функцій. Що стосується виду правих частин (5.1), то залежно від характеру процесів, що проходять у системі, функцією можуть містити як лінійні, так і нелінійні члени відносно змінних . Більша частина рівнянь, що розглядаються нами, матиме праві частини, не залежні явно від часу: . Це означає, що дані процеси проходять при постійних зовнішніх умовах. Рівняння, що не містять у правих частинах членів, явно залежних від часу, називаються автономними.

Зупинимося спочатку на властивостях екологічних систем, що дозволяють проводити спрощення їх математичних моделей. Ми вже згадували про ієрархічний принцип будови екологічних систем, відповідний різним рівням їх організації. У кінетичному відношенні цей принцип знаходить своє відображення в тому, що різні функціональні частини екологічних систем або їх підсистеми відрізняються одна від іншої за характерними швидкостями або часом процесів, що проходять у них.

В екологічній системі здійснюється принцип вузького місця, згідно з яким загальна швидкість перетворення речовини у всьому ланцюзі реакцій визначатиметься найбільш повільною стадією. Отже, якщо окремі стадії загального процесу володіють характерним часом і найбільш повільна стадія має час[ такий, що , то визначальною ланкою буде k-та, а загальний час процесу практично збіжиться зі значенням цієї вузької ланки.

У той же час швидкі стадії' процесу характеризуються високими швидкостями зміни змінних, що можна записати у вигляді

(5.2)

де – швидка змінна, ε " 1 – малий позитивний параметр.

Поява у правій частині множника I/ε " 1 визначає велику величину швидкості. Наявність часової ієрархії дозволяє істотно спростити початкову модель екологічної системи, по суті, звівши завдання кінетичного опису системи до вивчення поведінки найбільш повільної стадії. У цьому сенсі найповільніша ланка буде такою, що керує, оскільки дія саме на неї, а не на швидші стадії може вплинути на швидкість проходження всього процесу. Це об'єктивна властивість екологічних систем істотно полегшує проблему моделювання. Одночасно полегшується й управління цим процесом у межах самої екологічної системи. Насправді регулювання складного багатостадійного процесу легко здійснити шляхом дії на одну його ключову стадію, наприклад зміною параметрів найповільнішої ділянки всього ланцюга. Це підвищує надійність управління складними багатостадійними екологічними процесами і в цьому сенсі є одною з важливих переваг екологічних систем.

Таким чином, хоча екологічні процеси і містять велику кількість проміжних стадій, їх кінетична поведінка регулюється порівняно невеликим числом окремих ланок, а отже, їх динамічна модель містить істотно меншу кількість рівнянь.

Практика математичного моделювання показує, що дослідження таких спрощених систем рівнянь може дати точніше уявлення порівняно з повними моделями про загальні динамічні властивості системи, особливо в тих випадках, коли не виникає необхідності знаходження точного розв'язку рівнянь, але важливо передбачити характер поведінки системи при зміні умов її функціонування. У біологічних, екологічних і хімічних системах це особливо важливо, оскільки значення їх параметрів і початкових умов, як правило, варіюють і зазвичай не бувають точно заданими, так шо надзвичайно важливо встановити залежність поведінки системи від значень її параметрів.

Одна з найважливіших властивостей відкритих екологічних систем – установлення в них стаціонарних станів на відмінність від термодинамічної рівноваги, властивої ізольованим системам. У зв'язку з цим, розглядаючи загальні динамічні характеристики та поведінку екологічної системи і відповідної кінетичної моделі, ми матимемо на увазі властивості її стаціонарних станів. А саме нас будуть цікавити такі питання: чи існують у системі стаціонарні стани, скільки їх, яка їх стійкість, як залежить стійкість від параметрів системи, як поводиться система поблизу стаціонарних стоянь, чи можливі між ними переходи?

Розглядом цих завдань займається якісна теорія диференціальних рівнянь, що і дозволяє, не розв'язуючи самих рівнянь, досліджувати зазначені закономірності поведінки системи за виглядом правих частин рівнянь (5.1): . Відзначимо, що для виконання поставленого завдання: описати властивості стаціонарних станів системи, не вдаючись до пошуків розв'язань, необхідно якимсь чином виключити з безпосереднього розгляду чинник часу. Насправді, за визначенням, у стаціонарному стані всі похідні за часом змінних у лівих частинах (5.1) перетворюються в нуль:

(5.3)

Звідси, прирівнюючи до нуля праві частини (3.1), отримаємо систему алгебраїчних рівнянь:

(5.4)

Сталі значення, яких набувають змінні при досягненні системою стаціонарного стану, є .

Звернемо увагу на те, що швидкі змінні на відміну від повільних практично весь час перебувають біля своїх стаціонарних значень. Це легко бачити з рівняння (5.2) для швидкої змінної ср. Насправді, переносячи ε > 0 у ліву частину, отримаємо

(5.5)

При

(5.6)

що збігається з алгебраїчним рівнянням для визначення стаціонарних значень . Це означає, що у разі розшарування системи на швидкі та повільні змінні зміною швидких змінних можна нехтувати, вважаючи їх сталими величинами, а всю увагу зосередити на зміні повільних змінних, що визначають вузькі місця системи.

Основний підхід якісної теорії диференціальних рівнянь полягає в тому, щоб характеризувати стан системи в цілому значеннями змінних яких вони набувають у кожен момент часу в процесі зміни відповідно до (5.1). Якщо ми відкладемо на осях прямокутних координат в η-вимірному просторі значення змінних то стан системи описуватиметься якоюсь точкою M у цьому просторі з координатами

У стаціонарному стані точка M з координатаминосить назву стаціонарної, або, як-то кажуть, точки рівноваги або точки спокою системи. Зміна стану системи зівставляється зі зміною положення точки M в n-вимірному просторі. Простір з координатаминазивається фазовим, крива, що описується в ньому точкою М, – фазовою траєкторією, а сама система (5.1) – динамічною системою. Як ми побачимо надалі, вивчення поведінки системи в такому фазовому просторі дає можливість описати загальні властивості стаціонарних станів системи і переходів між ними.

Досі наш розгляд динамічних систем був обмежений так званими системами ідеального змішування, або точковими системами.

Побудова точкової моделі є необхідним етапом при побудові моделі будь- якої системи, оскільки для опису системи в цілому, звісно, потрібно знати поведінку її частин.

Усі екологічні системи є незрівноваженими, а процеси, що проходять в них, – незворотними процесами. Саме ця обставина дозволяє живим системам використовувати потоки речовини та енергії для побудови та підтримки структурної і функціональної впорядкованості. Відповідно і математичні моделі екологічних систем мають бути істотно нелінійними моделями. Математичний опис нелінійних розподілених систем становить значні труднощі.