Моделі, що описуються системами диференціальних рівнянь другого порядку. Фазова картина системи. Визначення стійкості

Розглянемо основи теорії систем, що описуються двома рівняннями першого порядку.

Такі системи рівнянь можуть описувати набагато ширшими класами екологічних явищ, ніж одне рівняння першого порядку.

Зокрема, в таких системах можливі автоколивання, тобто періодичні зміни змінних зі сталою амплітудою. Розв'язання одного рівняння вигляду

завжди є монотонними, отже, не можуть описувати будь-який реальний періодичний процес. Маючи досить багато властивостей, системи другого порядку в той же час допускають наочне подання поведінки змінних на фазовій площині. Дослідження систем вищого порядку, як правило, настільки складне, що доводиться вирішувати їх чисельно за допомогою ЕОМ; спільність і наочність при цьому, звісно, втрачаються. Проте динамічні системи третього і вищого порядків можуть володіти якісно іншими властивостями, наприклад демонструвати квазістохастичну поведінку.

Під час дослідження властивості моделей, що складаються із двох диференціальних рівнянь, використовуються методи якісної теорії, що істотно базуються на уявленні про фазовий портрет системи. Зупинимося на деяких загальних властивостях систем другого порядку, що описуються в загальному вигляді рівняннями:

(5.19)

Тут P (х, у), Q (х, у) – неперервні функції, визначені в деякій області G евклідової площини (х, у – декартові координати), що мають в цій області й неперервні похідні порядку не нижче першого.

Область G може бути як необмеженою, так і обмеженою. У разі, шли змінні величини X, у мають конкретний екологічний сенс (концентрації речовин, чисельність виду), на них, як правило, накладаються деякі обмеження, насамперед всі екологічні змінні не можуть бути від'ємними. Так, у моделі Вольтерра, що описує взаємодію двох видів: хижака і жертви,змінна, що характеризує чисельність жертви, а- хижака. Область G є додатним квадрантом правої напівплощини:

Часто чисельність того або іншого виду буває обмеженою зверху якими- небудь зовнішніми по відношенню до даної системи умовами, наприклад площею ареалу існування.

Іноді буває, що значення змінних (чисельність виду) не можуть упасти нижче певної величини. В цьому разі область зміни змінних обмежена не лише зверху, а й знизу:

Те саме спостерігається в хімічній кінетиці. Так, якщо х та у – концентрації реагуючих речовин, то

де– максимально можливі концентрації реагентів.

Таким чином, у даному випадку область G є обмеженою.

У процесі зміни в часі змінні х, у змінюються згідно із системою рівнянь (5.19) так, що кожному стану системи відповідає певна пара значень невідомих x, у.

Навпаки, кожна пара значень (х, у) описує певний стан системи. Розглянемо площину з осями координат, на яких відкладені значення змінних х, y. Кожна точка M цієї площини з координатами (х, у) відповідає певному стану

системи. Така площина носить назву фазової площини, або площини станів системи і відображає сукупність усіх станів системи. Точка М(х, у) називається відображальною, або відображувапьною точкою. Нехай при- координати відображальної точки. У кожен наступний момент часу t відображальна точка зміщуватиметься і набуватиме положення M (х, у), відповідне значенням x(t), y(t). Сукупність усіх точок M (х, у) на фазовій площині (х, у), положення яких відповідає станам системи в процесі зміни згідно з рівнянням (5.19), називається фазовою траєкторією.

Припустимо, що нам не відомий характер змін змінних у системі, але відомий характер фазових траєкторій. Фазова площина, розбита на траєкторії, дає легко осяжну картину системи, тобто можливість відразу охопити всю сукупність змін змінних X, у, що можуть виникнути за довільних початкових умов. Часто, не вирішуючи систему рівнянь вигляду (5.19) і керуючись лише видом рівнянь, можна побудувати фазовий портрет системи. Цей шлях дозволяє зробити висновки про характер руху без знання аналітичних виразів початкової системи рівнянь і, отже, застосовується і в тих випадках, шли такі аналітичні вирази не можуть бути знайдені.

Для відображення фазової картини необхідно побудувати векторне поле напрямів траєкторій системи в кожній точці площини х, у. Задаючи приріст , ми отримаємо для х і у відповідно приростиі, які знайдемо із запальної системи (5.19):

(5.20)

Очевидно, що призалежно від знаків P (х, у) і Q (х, у) прирости іможуть бути як додатними, так і від'ємними. Напрям векторау точці (х, у) залежить від знаків функцій P (х, у) і Q(x, у) у цій самій точці й може бути заданий такою схемою:

Визначивши таким чином напрям траєкторій у кожній точці фазової площини, матимемо повний фазовий портрет системи. Завдання побудови векторного поля дещо спрощується, якщо отримати вираз для фазових траєкторій в аналітичному вигляді.

Пригадаємо, що фазова траєкторія має дотичні до траєкторій, тангенс кута нахилу яких у кожній точці M (х, у) дорівнює значенню похідної у цій самій точці. Отже, щоб провести фазову траєкторію через точку фазової площини, достатньо знати напрям дотичної в цій точці площини або значення похідної. Для цього необхідно отримати рівняння, що містять змінні х та у і які не містять часу t у явному вигляді. Щоб із початкової системи рівнянь (5.19) отримати рівняння, що зв'язує безпосередньо х і у, і таким чином, не інтегруючи рівнянь, перейти до картини на фазовій площині, розділимо друге рівняння системи на перше. Отримаємо диференціальне рівняння

(5.21)

яке у багатьох випадках простіше, ніж початкова система другого порядку (5.19). Розв'язок цього рівняння у = у (х, с), або в неявній формі F (х, у) = с, де с – стала інтегрування дасть нам сім'ю інтегральних кривих – фазових траєкторій системи (5.21) на площині х, у.

Проте часто побудова повної фазової картини системи є достатньо важким завданням, оскільки в загальному випадку рівняння (5.21) може і не мати аналітичного розв'язку. Тоді побудова інтегральних кривих проводиться якісно.

Для якісної побудови фазової картини системи зазвичай користуються методом ізоклін. Метод полягає в тому, що на фазовій площині наносяться лінії, які перетинають інтегральні криві під одним певним кутом. Розглядаючи ряд ізоклін, можна встановити, яким буде хід самих інтегральних кривих.

Рівняння ізоклін легко отримати з рівняння (5.21). Візьмемо

(5.22)

де А – певна стала величина. Значення А є тангенсом кута нахилу дотичної до фазової траєкторії й, отже, може набувати значеньдо, Підставляючи в (5.21) замість dy/dx величину А, отримаємо рівняння ізоклін:

(5.23)

Надаючи А певні числові значення, отримуємо набір кривих. У будь-якій точці кожної із цих кривих кут нахилу дотичної до фазової траєкторії, що проходить через цю точку, дорівнює одній і тій самій величині, а саме величині А, що характеризує ізокліни.

Відзначимо, що у разі лінійних систем, праві частини яких Р(х, у), Q(x, у) є лінійні відносно x, у форми, ізокліни є пучком прямих, що проходять через початок координат. Так, якщо система, що вивчається нами, описується лінійними однорідними рівняннями вигляду

(5.24)

рівняння ізоклин можна записати в такому вигляді:

(5.25)

Рівняння (5.21) безпосередньо визначає в кожній точці площини єдину дотичну до відповідної інтегральної кривої, за винятком точки, де , у якій напрям дотичної стає невизначеним, оскільки при цьому стає невизначеним значення похідної:

(5.26)

Ця точка є точкою перетину всіх ізоклін.

Точки, в яких напрям дотичних до інтегральних кривих не визначений, носять назву особливих точок. Особлива точка має таку важливу властивість, що в ній одночасно перетворюються в нуль похідні за часом змінних х та у:

(5.27)

Таким чином, в особливій точці швидкості зміни змінних дорівнюють нулю, й, отже, особлива точка диференціального рівняння фазових траєкторій (5.21) відповідає стаціонарному стану системи (5.19), а її координати є стаціонарними значеннями змінних х, у.

Для якісного вивчення часто можна обмежитися побудовою не всіх, а лише деяких ізоклін на фазовій площині. Особливий інтерес становлять так звані "головні" ізокліни: dy/dx = 0 – ізокліни горизонтальних дотичних до фазових траєкторій, рівняння якиї Q (х, у) = 0 та ізокліни вертикальних дотичних dy/dx = ®, якій відповідає рівняння P (х, у) = 0.

Побудувавши головні ізокліни і знайшовши точку їх перетину (х, у), координати якої задовольняють умови:, ми визначимо тим самим точку перетину всіх Поклін фазової площини, в якій напрям дотичних до фазових траєкторій не визначений:

Ця особлива точка і відповідає стаціонарному стану системи.

Система рівнянь (3.19) має стільки стаціонарних станів, скільки точок перетину головних ізоклін маємо на фазовій площині.

Кожна фазова траєкторія відповідає сукупності рухів динамічної системи, що проходять через одні й ті самі стани і відрізняються один від одного лише початком відліку часу. Таким чином, розглядаючи фазову картину системи, тобто розв'язуючи графічно рівняння інтегральних кривих (5.21), ми тим самим вивчаємо проекцію інтегральної кривої в просторі всіх трьох вимірювань х, у, t системи (5.19) на площину х, у.

Якщо умови теореми Коші для системи рівнянь (5.19) виконані, то через кожну точку простору X, у, t проходить єдина інтегральна крива цієї системи рівнянь, тобто інтегральні криві в просторі X, у, t перетинатися не можуть. Те саме завдяки автономності рівнянь (5.19) можна сказати і про фазові траєкторії: вони також не можуть перетинатися, оскільки через кожну точку фазової площини проходить єдина фазова траєкторія.

Через зазначену властивість фазових траєкторій відображальна точка, рухаючись за іншими фазовими траєкторіями, не може прийти в стан рівноваги ні при якому кінцевому t. Встановлення станів рівноваги в динамічних системах, що описуються рівняннями (5.19), відбувається лише асимптотично (тільки при ).

У випадку системи двох рівнянь, що розглядається тут, зручно дати визначення стійкості стаціонарного стану, використовуючи для цього вже введене нами уявлення про фазову площину.

Нехай дана система знаходиться в стані рівноваги. Тоді відображальна точка на фазовій площині знаходиться в нерухомості в одній з особливих точок системи, оскільки в цих точках за визначенням dx/dt = 0, dy/dt = 0.

Якщо тепер ми виведемо систему зі стану рівноваги, то відображальна точка, зміститься з особливої точки і почне рухатися за фазовою площиною відповідно до рівнянь її руху (5.19).

Стійка чи ні особлива точка системи, що розглядається нами, визначиться тим, піде чи ні відображальна точка з деякої даної області, що оточує особливу точку, причому ця область може бути більшого або меншою залежно від умов завдання. Щодо системи двох рівнянь визначення стійкості мовою ε, δ виглядає таким чином.

Стан рівноваги стійкий, якщо для будь-якої заданої області допустимих відхилень від стану рівноваги (область ε) ми можемо вказати область δ(ε), що оточує цей стан рівноваги і яка має таку властивість, що жодна з траєкторій відображапьної точки, що починається всередині δ, ніколи не досягне межі області ε. Навпаки, стан рівноваги нестійкий, якщо може бути вказана така область відхилень від стану рівноваги (область ε), для якої не існує області δ(ε), що оточує стан рівноваги з тією властивістю, що жодна траєкторія, що починається всередині δ, ніколи не досягне межі ε.

Можна записати це визначення стійкості мовою математичних нерівностей, припустивши для простоти, що областю допустимих відхилень ε є квадрат.

Стан рівноваги стійкий, якщо для довільного заданого ε (ε > 0) можна знайти таке , що якщо при виконуються нерівності , то для будь-якого подальшого моменту часу 0 < t < +∞ будуть справедливі нерівності .

Іншими словами, всі подальші відхилення значень змінних від рівноважних також будуть малими.