Дослідження стійкості нелінійних систем за методом Ляпунова

Від окремого випадку лінійної системи повернемося до загального випадку динамічної системи, що описується двома диференціальними рівняннями першого порядку:

(5.43)

Щоб відшукати на фазовій площині стани рівноваги, потрібно знайти ті точки фазової площини, де швидкість зміни змінних дорівнює нулю або, інакше, потрібно знайти точки перетину кривих: Р(х, у) = 0, Q(x, у) = 0.

Як ми вже знаємо, ці точки будуть особливими точками диференціального рівняння першого порядку, що визначає інтегральні криві:

(5.44)

Перейдемо до дослідження стійкості стану рівноваги системи (5.43). Пуанкаре і Ляпунов дали аналітичний метод дослідження стійкості стаціонарного стану.

Для дослідження стійкості стану рівноваги– точки перетину головних ізоклін- необхідно розглянути характер рухів за наявності деяких відхилень від стану рівноваги. Введемо замість змінних х, у нові незалежні змінні, визначивши їх як зсуви щодо положення рівноваги на фазовій площині:

(5.45)

Підставивши цей вираз у (5.43), отримаємо:

(5.46)

, оскільки- координати особливої точки. Припускаючи наявність і безперервність похідних порядку не нижче першого у функції P і Q, ми можемо розкласти праві частини отриманих рівнянь у ряд Тейлора за змінними. Остаточно, переходячи від змінних х, у до змінних ζ, η у рівняннях (5.43), отримаємо

(5.47)

де

, за визначенням особливої точки Обґрунтований Ляпуновим метод дослідження стійкості зводиться до такого. Відкинемо в рівняннях (5.47) нелінійні члени. Тоді ми отримаємо систему лінійних рівнянь із постійними коефіцієнтами, тобто так звану систему рівнянь першого наближення:

(5.48)

Розв'язок цієї системи записується відразу, якщо нам відомі корені характеристичного рівняння

Ляпунов показав, що у випадку, якщо обидва корені цього рівняння мають відмінні від нуля дійсні частини, дослідження рівнянь першого наближення, отриманих шляхом відкидання нелінійних членів, завжди дає правильну відповідь на питання про стійкість стану рівноваги в системі (5.43).

Саме якщо обидва корені мають негативну дійсну частину і, отже, всі розв'язки рівнянь першого наближення (5.48) загасають, то стан рівноваги буде стійким; якщо ж хоча б один корінь має додатну дійсну частину, тобто якщо система (5.48) має наростаючі розв'язки, то стан рівноваги нестійкий. Якщо дійсні частини обох коренів характеристичного рівняння дорівнюють нулю або якщо один корінь дорівнює нулю, а інший від'ємний, то рівняння (5.48) не дають відповіді на питання про стійкість стану рівноваги.

У тому випадку, якщо обидва корені характеристичного рівняння мають відмінні від нуля дійсні частини, рівняння першого наближення визначають не лише, стійкість стану рівноваги, але й характер фазових траєкторій у досить малому його околі. Стани рівноваги (особливі точки), для яких дійсні частини обох коренів характеристичного рівняння відмінні від нуля, є "грубими".

Рисунок 5.17 – Особлива точка типу "сідло-вузол"

Характер фазових траєкторій у їх досить малому околі зберігається при будь-яких досить малих змінах різних частин рівнянь (5.43) – функцій Р(х, у) і Q(x, у), якщо достатньо малими є також і зміни їх похідних першого порядку. Таким чином, абсолютно так само, як і у разі лінійних рівнянь, ми маємо тут п'ять типів грубих станів рівноваги: стійкий вузол, нестійкий вузол, стійкий фокус, нестійкий фокус і сідло.

Розглянемо декілька прикладів застосування якісної теорії диференціальних рівнянь, зокрема метод дослідження стійкості стаціонарних станів за Ляпуновим при вивченні моделей деяких екологічних процесів.