Повна версія

Головна arrow Екологія arrow Теорія систем в екології

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

Екологічні тригери, автоколивання, граничні цикли

Важливою особливістю екологічних систем є їх здатність переключатися і одного режиму функціонування в іншій, що відповідає декільком стійким стаціонарним станам системи. На фазовій площині така система має дві і більше стійкі особливі точки. Області впливу стійких особливих точок розділяються сепаратрисою, яка повинна проходити через нестійку особливу точку типу сідло.

На рис. 6.4 наведений фазовий портрет такої системи із двома стійкими особливими точками. Нагадаємо, що кількість стаціонарних станів у системі визначається числом точок перетину головних ізоклін вертикальних і горизонтальних дотичних, зображених на рис. 6.4 жирними лініями. Точка перетину головних ізоклін Ь є сідлом, а точки перетину головних ізоклін а і с, що лежать по обидва боки від сепаратриси сідла (пунктирна лінія) суть стійкі вузли. Система, що характеризується подібним фазовим портретом, тобто що має два (декілька) стійкі стаціонарні стани, між якими можливі переходи, називається тригерною.

Фазовий портрет тригерної системи

Рисунок 6.4 – Фазовий портрет тригерної системи

На рис. 6.4 бачимо, що якщо початкове положення відображальної точки розміщене лівіше за сепаратрисиу сідла (пунктирна лінія), система знаходиться в області впливу особливої точки а і прагне до цього стійкого стаціонарного стану. З точок, що лежать правіше сепаратриси, система рухатиметься до стійкої особливої точки с.

Припустимо, що наша система функціонує у стійкому режимі а і необхідно перевести її в інший стійкий режим с. Можна зробити це двома способами. Ми можемо так змінити за рахунок зовнішньої дії значення змінних X і у, наприклад, різко збільшивши х, тому це переведе систему в якусь точку с', що знаходиться праворуч від сепаратриси сідла в області тяжіти стійкого вузла с. Після цього система вже сама по фазовій траєкторії перейде в точку с і опиниться в необхідному режимі. Це так званий силовий спосіб переключення тригера, який називається також специфічним. Дійсно, для такого переключення в систему необхідно додати деяку кількість певної речовини (у даному випадку речовини х).

Іншим, тоншим, буде спосіб параметричного неспецифічного переключення. При цьому безпосередній дії піддаються не змінні, а параметри системи, що може бути досягнуте різними способами: наприклад, зміною температури, швидкості надходження субстрату.

Процес параметричного переключення показаний на рис. 6.5 (а, б, в, г). Суть його полягає у використанні характерної залежності фазового портрета від деякого керуючого параметра

Припустимо, що для нашої системи із двома змінними і фазовим портретом (рис. 6.5 а) також є керуючий параметр а, зміна якого може викликати відповідну деформацію фазового портрета Тоді перехід а→с має такий вигляд (рис. 6.5, а, б, в, г.). При зміні керуючого параметра а фазовий портрет почне змінюватися так, що точки перетину головних ізоклин а і b зближатимуться одна з одною (рис. 6.5 б) злившись у кінці в одну складну особливу точку сідло-вузол (рис. 6.5 в). Потім відбудеться така зміна розташування ізоклін, коли на фазовій площині залишиться тільки одна точка їх перетину с – стійкий вузол, до якого і сходяться всі траєкторії фазової площини. Очевидно, що наша система, що знаходиться на початку процесу переключення в точці а із відповідними координатами Хо , у0 на фазовій площині, виявиться тепер через зміну фазового портрета (рис. 6.5 г) в області тяжіння стійкого вузла с, куди вона тепер мимоволі і перейде. Відмітимо, що при зміні фазового портрета самі координати особливої точки повинні також дещо змінитися, оскільки вони залежать від значень параметрів системи. Повертаючись потім до колишніх значень керуючого параметра, ми відновимо початковий фазовий портрет системи, але вона вже працюватиме в необхідному режимі с.

Процес параметричного переключення тригерної системи на фазовій площині (а, б, в, г)

Рисунок 6.5 – Процес параметричного переключення тригерної системи на фазовій площині (а, б, в, г)

У попередніх розділах ми розглядали загальні методи дослідження систем диференціальних рівнянь, що описують моделі реальних процесів. Було показано, що у великій кількості випадків можна звести завдання дослідження стаціонарних станів системи довільного вигляду

(6.28)

до дослідження особливих точок лінсаризованої системи вигляду

де

Метод лінеаризації (метод Ляпунова) дозволяє установити характер стійкості особливої точки, тобто досліджувати поведінку системи поблизу особливої точки, проте не дає відповіді на питання, яка поведінка системи далека від особливих точок. Дійсно, лише в достатній близькості від особливої точки (х, у) ми маємо право обмежитися лінійними членами в розкладанні функцій Р(х, у) і Q(x, у) у ряд Тейлора. Вдалині ж від особливої точки величини , що є відхиленнями змінних від координат особливої точки, перестають бути малими, а лінійні наближення – правомірними.

Як ми переконалися, у разі нестійкого вузла, нестійкого фокусу і сідла відображуюча точка відходить принастільки далеко від особливої точки, шо в цій області використання лінеаризованої системи вже стає неправомірним.

У реальній системі жодна реальна величина не може набувати нескінченних значень. Рано чи пізно в самій системі виникнуть умови, що обмежують зростання цих величин. Якщо ми сконструювали якусь модель процесу і описали Ті системою диференціальних рівнянь, стійким стаціонарним розв'язком якого є нескінченність, це відразу ж свідчить про недолік моделі. Проте і в "правильній" моделі можлива наявність на фазовій площині х, у нестійких особливих точок. У цьому випадку можливі два варіанти:

1) окрім нестійкого положення рівноваги на фазовій площини існує стійке, до якого і сходяться всі траєкторії. Саме таке явище мас місце, наприклад, в моделях тригерного типу, описаних вище. У тригерній моделі система алгебраїчних рівнянь для стаціонарних станів

має три розв'язки, причому дослідження характеру стійкості для кожної з трьох особливих точок можна проводити звичайними методами лінеаризації рівнянь в околі особливої точки;

2) траєкторії з нестійкої особливої точки можуть не відходити в нескінченність, не зважаючи на те, що стійких точок на фазовій площині немає. У цьому випадку існує принаймні одна замкнута траєкторія, до якої в граничному випадку наближаються фазові траєкторії. Очевидно, якщо ця траєкторія замкнена, то під час руху по ній координати відображуючої точки періодично набуватимуть одних і тих самих значень.

Ми вже вивчали періодичні рухи при розгляді особливої точки типу центр і загасаючі або наростаючі коливання у разістійкого і нестійкого фокусів. Тепер нам необхідно ознайомитися з важливим поняттям авто коливань.

Автоколивальними системами називаються такі системи, в яких мають місце два явища. По-перше, які б не були початкові умови, в автоколивальних системах встановлюються незгасаючі коливання, і, по-друге, ці незгасаючі коливання стійкі, оскільки відхилення (в обидва боки) від стаціонарного режиму загасають. Таким чином, в автоколивальній системі встановлюються і підтримуються незгасаючі коливання за рахунок сил, залежних від стану самої системи, причому амплітуда них коливань визначається властивостями системи, а не початковими умовами. Фаза коливань при цьому може бути будь-якою. Легко бачити, що величезне число коливальних систем в екології, включаючи періодичні біохімічні реакції, періодичні процеси фотосинтезу, коливання чисельності тварин тощо, належить до класу автоколивальних систем.

На фазовій площині стаціонарний розв'язок автоколивальної системи представляється так званим граничним циклом

Граничний цикл є ізольованою замкненою кривою на фазовій площині, до якої в граничному випадку при t–"" наближаються всі інтегральні криві. Граничний цикл представляє стаціонарний режим з певною амплітудою, що не залежить від початкових умов, а визначається лише структурою системи. Прості приклади дозволяють переконатися, що системи вигляду (5.28), взагалі кажучи, допускають як траєкторії граничні цикли.

Наприклад, для системи

траєкторія є граничним циклом. Його параметричні рівняння будуть такимиа рівняння всіх інших фазових траєкторій запишуться у вигляді

Значенням постійної інтеграції C > 0 відповідають фазові траєкторії, що накручуються на граничний цикл внутрішньо (при), а значенням -1 < с < 0 – траєкторії, що накручуються зовні.

Граничний цикл називається стійким, якщо існує така область на фазовій площині, що містить цей граничний цикл, – область ε, що всі фазові траєкторії, що починаються всередині є, асимптотично при наближаються до граничного циклу. Якщо ж, навпаки, в будь-якій скільки завгодно малій області ε граничного циклу існує принаймні одна фазова траєкторія, що не наближається до граничного циклу при, тому такий граничний цикл називається нестійким. Для ілюстрації на рис. 6.6 зображені стійкий граничний цикл а і нестійкий граничний цикл б.

Стійкий (а) та нестійкий (б) граничні цикли

Рисунок 6.6 – Стійкий (а) та нестійкий (б) граничні цикли

Відмітимо, що нестійкі цикли, подібні до зображених на рис. 6.6, такі, що всі траєкторії, з одного боку (наприклад, ззовні), наближаються до них, а з іншого (наприклад, зсередини) – віддаляються від них при, тому іноді їх називають "напівстійкими", або подвійними (остання назва обумовлена тим, що, як правило, такі цикли при відповідній зміні параметра системи розщеплюються на два, один з яких стійкий, а інший – нестійкий).

Для знаходження граничних циклів не існує таких простих шляхів, як для знаходження стаціонарних точок і дослідження їх стійкості. Проте дослідження фазової площини системи часто допомагає дати відповідь на питання: є в даній системі граничний цикл чи ні.

Нехай на фазовій площині існує область, з якої фазові траєкторії не виходять і в якій немає положень рівноваги (особливих точок). Тоді в цій області обов'язково існує граничний цикл, причому решта всіх траєкторій обов'язково намотується на нього.

Таким чином, якщо знайти на фазовій площині таку двозв'язану область, що напрями фазових траєкторій на всій межі обернені всередину цієї області, то можна стверджувати, що усередині цієї області є граничний цикл.

Якщо на фазовій площині існує деяка замкнута область, така, що всі фазові траєкторії, що перетинають межу цієї області, входять у неї і всередині цієї області є нестійка особлива точка, то в останній обов'язково є хоча б один граничний цикл.

Наведемо деякі критерії відсутності замкнених фазових траєкторій:

  • 1) якщо в системі не існує особливих точок, то у неї не може бути і замкнених траєкторій;
  • 2) якщо в системі існує лише одна особлива точка, відмінна від вузла, фокусу і центра (наприклад, сідло), то така система не допускає замкнених траєкторій;
  • 3) якщо в системі є лише прості особливі точки, причому через усі точки типу вузол і фокус проходять інтегральні криві, що йдуть у

нескінченність, то в такій системі немає замкнених фазових траєкторій.

У випадку, якщо критерії 1–3 виконані, ми можемо з упевненістю стверджувати, що в системі немає граничних циклів. Проте невиконання цих критеріїв ще не дозволяє зробити висновок про наявність у системі граничних циклів і, отже, автоколивань.

Нестійкий граничний цикл, зрозуміло, також може міститися у фазовому портреті грубих систем. Однак такий граничний цикл не відповідає реальному періодичному процесу; він відіграє роль лише "вододілу", по обидва боки якого траєкторії мають різну поведінку. Для якісного дослідження динамічної системи, що описується системою двох диференціальних рівнянь із двома невідомими, тобто для з'ясування можливих типів її поведінки, немає потреби знаходити всі фазові траєкторії. Для цієї мети досить знайти лише деякі, основні фазові траєкторії, що визначають якісний характер фазового портрета. Потрібно знати кількість, характер і взаємне розташування станів рівноваги (особливих точок), граничних циклів, а також хід сепаратрис. Знання цих основних траєкторій досить для доведення до кінця якісного дослідження динамічної системи.

 
<<   ЗМІСТ   >>