Повна версія

Головна arrow Екологія arrow Теорія систем в екології

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   ЗМІСТ   >>

Оптимізаційні моделі

Описані в цьому розділі моделі, як правило, вважаються менш прийнятними для вирішення екологічних завдань, до того ж вони стали використовуватися порівняно недавно. Проте для фахівця з системної екології дуже важливо уявляти собі можливості моделей, коли робота знаходиться на стадії вибору шляху розв'язання задачі. Таке незвичайне слово "оптимізація" вигадане для того, щоб позначити відшукання максимуму або мінімуму якогось математичного виразу або функції, коли деякі їх змінні ми можемо змінювати в певних межах. Якби ми хотіли знайти тільки максимум, ми могли б назвати процес максимізацією – словом, яке врешті-решт прийнятніше. І навпаки, відшукуючи тільки мінімум, ми могли б використовувати слово мінімізація. Математично одну з цих операцій завжди можна перетворити на іншу, отже в тому, що обидва процеси розглядаються як один, є певна логіка. Практично будь-які моделі можуть бути використані при відшуканні тих або інших максимумів або мінімумів. Чи буде це використання мати зміст, цілком залежить від конкретного завдання, але такі ситуації, коли необхідно вивчити можливість збільшення продуктивності деякої екологічної системи шляхом зміни навколишнього середовища або зміни методів управління, виникають в екології досить часто. Одна з головних причин застосування моделей у тому і полягає, що ми повинні уміти передбачати результати цих змін.

За допомогою динамічної моделі, наприклад, ріст дріжджів у змішаній культурі, описаній за допомогою диференціальних рівнянь, ми можемо спробувати визначити співвідношення між початковими кількостями двох видів дріжджів, при якому продукується максимум дріжджових клітин. Визначивши експериментально основні параметри моделей, ми можемо подальші експерименти з метою відшукання потрібних співвідношень проводити вже на моделях.

У матричних моделях, експериментуючи з декількома різними віковими структурами популяції і інтенсивностями її експлуатації, ми можемо визначити оптимальне значення деякої цільової функції, хоча самі матричні методи за заданих початкових умов визначають стаціонарні стани та коефіцієнти збору врожаю.

Цікаві можливості для експериментування надають і стохастичні моделі. Моделюючи поведінку зміни екосистем верхового болота, можна досліджувати вплив зміни перехідної ймовірності на тривалість часу, протягом якого досліджувана ділянка залишається в якомусь конкретному стані, застосовуючи для цих цілей матриці перехідної ймовірності.

Важче, мабуть, передбачити оптимізацію в багатовимірних моделях, але, принаймні в одному сенсі ці моделі вже виявляють оптимальні умови, що визначають зв'язки. Так, наприклад, дискримінанті функції є лінійними функціями початкових змінних, що забезпечують якнайкращу (тобто оптимальну) дискримінацію між апріорними групами. Аналогічним чином канонічні кореляції визначають такі лінійні функції двох наборів змінних, що володіють найбільшими кореляціями.

Абсолютно природним, проте, є бажання сформулювати модель так, щоб полегшити відшукання оптимальної комбінації ключових змінних, і основні математичні формулювання такого роду були розроблені незалежно в тих ранніх додатках математичних методів до практичних завдань, які відомі зараз під назвою "дослідження операцій". Ще до появи написання інструкцій для ЕОМ до вжитку ввійшов вираз "математичне програмування", яке в найбільш простій формі відоме під назвою "лінійне програмування". У цій моделі центральне місце може займати лінійна цільова функція

(6.69)

і для цієї моделі визначається максимум або мінімум функції при одному або більше обмеженнях, які також виражені у вигляді лінійних функцій, хоча початково це можуть бути просто нерівності, наприклад

(6.70)

Часто є неявні обмеження, що полягають у тому, що Xi не можуть бути від'ємними.

Коли змінних лише дві, задача оптимізації такого роду досить легко розв'язуються графічними методами. Для більш ніж двох змінних задача сильно ускладнюється, і звичайний підхід до її розв'язання припускає використання так званого "методу" симплексу. Насамперед шляхом уведення допоміжних змінних, обмеження, виражені у вигляді нерівностей, замінюються лінійними рівняннями. Проте обмеження, що полягають у тому, що всі змінні повинні бути більше нуля, залишаються тими самими. Потім шукається будь- який допустимий розв'язок задачі, і, як тільки він знайдений, ітеративним методом намагаються поліпшити цей розв'язок, тобто наблизити його до певного оптимуму цільової функції за допомогою малих змін значень змінних. Ця ітеративна процедура триває доти, поки не можна буде одержати ніякого

подальшого поглиблення.

Одна з переваг оптимізаційних моделей полягає в тому, що вони завжди висвітлюють два важливі аспекти проблеми. Одержаний розв'язок дає значення змінних цільової функції, при яких ця функція досягає максимуму або мінімуму, залежно від того, яке поставлене завдання. Проте, крім того, метод указує й те обмеження, яке потрібно ослабити, щоб поліпшити оптимальне значення цільової функції. Внаслідок цього експериментатор може ретельніше перевірити постановку завдання і, зокрема, свої оцінки коефіцієнтів при змінних в цільовій функції та природу зазначеного обмеження. Якщо виявиться, що можна поліпшити оцінки або ослабити обмеження, то він зможе знайти ще кращий розв'язок.

Як приклад розглянемо оптимальні стратегії хижака. Припустимо, що хижак існує в кублі в точці А і є два потенційні джерела їжі, розташовані на ділянках В і С. Час, необхідний для того, щоб дістатися до ділянок В і C та повернутися з одиницею здобичі, дорівнює двом і трьом хвилинам відповідно. З іншого боку, на ділянці В хижак витрачає на утішання здобичі x1 дві хвилини, тоді як на ділянці C йому потрібна лише одна хвилина, щоб зловити одиницю здобичі x2. Енергетична ЦІННІСТЬ ОДНІЄЇ ОДИНИЦІ Х оцінюється в 25 Дж, а одиниці х2- 30 Дж.

Якщо ми введемо тепер обмеження, що полягає в тому, що на шлях із кубла в будь-якій з ділянок і назад хижак може витрачати не більше 120 хвилин на добу і що на пошук жертв він може витрачати не більше 80 хв на добу, то ми дійдемо класичного завдання лінійного програмування. Згадані обмеження записуються у вигляді нерівностей:

  • - для часу в дорозі;
  • - для часу пошуку їжі.

Потрібно записати також неявні обмеженняоскільки хижак не може зловити від'ємне число жертв. При цих обмеженнях ми хочемо максимізувати цільову функцію

Цю задачу легко розв'язати графічно, скориставшись записаними у вигляді нерівностей обмеженнями. Обмеження за часом у дорозі показує, що якщо x1 дорівнює нулю, томоже бути не більше 40 одиниць. Так само, якщо дорівнює нулю, то x1 може бути не більше 60 одиниць. Комбінації граничних значеньіможна подати у вигляді прямої, що сполучає дві точки – ( )і() (рис. 6.14).

Застосувавши аналогічні міркування до обмеження за часом пошуку їжі, ми одержимо, що якщодорівнює нулю, тоне може перевищувати 80 одиниць, а якщодорівнює нулю, то не може бути більше 40 одиниць.

Усі розв'язки, що мають сенс, лежать, таким чином, у чотирикутнику OPQR (див. рис. 6.14), а максимум цільової функції досягається в точці, яка найбільш віддалена від початку координат у напрямі, показаному стрілкою. Ця точка мас координати (), отже, максимальне значення цільової функції дорівнюєДж.

Графічне розв'язання простої задачі лінійного програмування

Рисунок 6.14 – Графічне розв'язання простої задачі лінійного програмування

Можна самостійно перевірити, як впливає ослаблення одного або обох обмежень на цільову функцію, маючи на увазі, що найважливішим при оптимізації часто є знаходження того обмеження, ослаблення якого дозволяє знайти ще кращий розв'язок.

Цей приклад, зрозуміло, дуже простий, і графічний метод розв'язання звичайно можна застосовувати лише у тому разі, коли цільова функція і обмеження залежать від двох змінних; щоправда, такі розв'язки нерідко можна знайти і для випадку декількох обмежень. Проте є ефективні алгоритми для розв'язання задач лінійного програмування й особливо для тих завдань, які виникли і сформульовані як завдання про перевезення, пов'язані з оптимнацією транспортування різних матеріалів і корисних копалини. Проте існує безліч екологічних проблем, які можна виразити через моделі лінійного програмування. Більшість цих проблем пов'язана з управлінням природними ресурсами в сільському господарстві та лісоводстві, де лінійне програмування застосовується в дослідженнях з управління і планування лісових запасів, при економічному аналізі заходів щодо поліпшення якості деревних лісових порід і при аналізі розвитку сільськогосподарських підприємств і т. п. Проте не всі завдання можна подати через лінійні цільові функції і лінійні обмеження, особливо в екологічних дослідженнях. Нелінійність же цих функцій або обмежень – або і того, й іншого – дуже сильно утрудняє відшукання розв'язків. До таких самих труднощів призводять і постановки завдань, при яких накладаються певні обмеження на розміри скупчень, у яких можуть бути зосереджені одиниці якихось конкретних ресурсів. У зв'язку з цим була розроблена теорія нелінійного програмування, хоча екологічних моделей, побудованих виключно на основі цієї теорії, досить мало.

Іноді великомасштабні проблеми оптимізації можна підрозділити на ряд дрібніших завдань, що створюють послідовність у часі або в просторі, або навпаки. Подібні постановки завдань часто дозволяють спростити процедуру відшукання розв'язків, при цьому потрібно спеціально перевіряти, чи дає послідовність оптимальних розв'язків підзадач наближення оптимального розв'язку повної проблеми. Такий пошук якнайкращого розв'язання на кожному етапі відомий під назвою "динамічного програмування". Математичний апарат, що використовується в таких моделях, досить складний, і тому приклади їх успішного застосування в екології нечисленні. У праці Уатта (1971) розглядається застосування динамічного програмування для визначення стратегій боротьби зі шкідниками. Шрайдер (1968) описує модель, яка дає рекомендації щодо капіталовкладень у лісоводстві, від саджання дерев до отримання річної продукції однієї або декількох первинних деревообробних галузей.

 
<<   ЗМІСТ   >>