Деформаційний механізм ущільнення порошкових тіл

В основу своєї теорії Г.М. Жданович поклав аналіз контактної взаємодії частинок порошкового тіла. При цьому частинка порошку розглядається як окреме тіло, що підпорядковується всім законам класичної механіки.

Для аналізу контакту між частинками розглядається модель. що складається з двох опуклих тіл. обмежених в околицях зони контакт} деякими довільними криволінійними поверхнями (рис. 21, 22). Первинна точка дотику тіл (частинок) покладається за початок координат. Осіірозміїщтоться в загальній дотичній площині, а осі- по загальній норматі.

Рисунок 21 – Схема деформації частинок

Рисунок 22 – Схема силової взаємодії частинок порошку при пресуванні

Передбачається, що в околиці зони контакту рівняння поверхонь дотичних частинок мають вигляд

(2.2)

При розкладанні цих функцій у ряди Маклорена одержимо

(2.3)

(2.4)

Індекс 0 у виразах (2.3) і (2.4) дає значення функцій Z і Z2, їх частинних похідних поблизу початку координат, тобто при

Оскільки ХОУ- загальна дотична площина, то можна записати

(2.5)

Тоді з урахуванням (2.5) рівняння (2.3) і (2.4) можна записати у вигляді

(2.6)

(2.7)

Якщо вісіповернути так, щоб зникли члени ряду, що містять утворенняі, і нехтувати членами порядку третього і вищих ступенів, то рівняння (2.6) і (2.7) можна записати так:

(2.8)

(2.9)

При деформації частинок (див. рис. 21) крапкиіможуть поєднатися і виявитися на контурі поверхні взаємного контакту частинок. Якщо ці зближення і поєднання відбуваються по осі X, то в цьому випадку можна приблизно покласти:

(2.10)

де- нормальна контактна деформація частинок;

- зближення частинок.

Підставляючи у вираз (2.10) значенняіз рівнянь (2.6) і (2.7), одержуємо

(2.11)

Далі покладається, що квадрати координат прямо пропорційні розмірам площі контакту. Значення других похідних, які пов'язані зі зведеною кривизною перетинів частинок, обернено пропорційні середньостатистичному розміру частинок. Тоді зближення частинок

(2.12)

де

В остаточному вигляді вираз (2.12) записується так:

(2.13)

де

або в диференціальній формі:

(2.14)

Припускаючи, що деформація порошкового тіла відбувається в основному за рахунок нормальної деформації контактів частинок і їх відносного зсуву при збільшенні зусилля преса на dp, можна розраховувати зміну висоти пресовки:

(2.15)

де h – висота пресовки в момент деформації;

• - зведене число шарів частинок по висоті пресовки;
• - число частинок у шарі пресовки, що розглядається;
• - число опорних контактів даної частинки;
• - елементарні, нормативні деформації контактів частинок, які взаємодіють;
• - елементарні зрушення, які є наслідком зміни контактів;
• - куги відповідно нормальної і тангенціальної взаємодії контактів частинок (див. рис. 22).

Переходячи до середньостатистичних величин і вважаючи, що, а, одержуємо

(2.16)

або (2.17)

де

N- загальне число частинок в пресовці;

- середньостатистичне число частинок у даному шарі.

Визначивши загальне число частинок

(2.18)

і середньостатистичне число частинок

(2.19)

можна розрахувати зведене число шарів частинок порошку по висоті пресовки:

(2.20)

де – номінальна площа перетинів пресовки;

– коефіцієнт відповідно плоскої і об'ємної форми частинок.

Підставляючи значення з виразу (2.20) в (2.17), знаходимо

(2.21)

або щодо елементарного зближення частинок

(2.22)

Середньостатистичне число контактів, що припадає на одну частинку з достатньою для практики точністю, становить

(2.23)

де К – число контактів, що припадає на одну частинку при 100%-й щільності порошкового тіла;

Θ – відносна щільність.

Проекція сумарної поверхні контактів у даний момент пресування визначається як

(2.24)

Виходячи із середньостатистичних величин, вираз (2.24) може бути представлений так:

(2.25)

де- середньостатистичне число опорних контактів частинки;

- середньостатистичний розмір площі контакту.

Число контактів мають частинки верхнього відкритого шару пресовки, тому для його визначення використовується такий вираз:

(2.26)

Розглядаючи спільно вирази (2.19) і (2.25), (2.26), визначаємо

(2.27)

З (2.27) знаходимо

(2.28)

де – безрозмірна відносна величина проекції сумарної контактної поверхні пресування в даний момент пресування.

Вважаючи постійним середній статистичний кут нормального контакту взаємодії частинок при пресуванні, можна знайти елементарний приріст середньостатистичної площі контаку При зміні зусилля пресаможе бути визначена за формулою

(2.29)

Надалі, розглядаючи спільно вирази (2.14), (2.22) і (2.29), одержуємо

(2.30)

Вираз (2.30) є диференціальним рівнянням, що описує деформаційний механізм ущільнення порошкового тіла. Воно зв'язує приріст контактної поверхні пресування зі зростанням її щільності при збільшенні зусилля преса на dP.

З (2.30) необхідно знайти величину, яку можна визначити при використанні принципу віртуальних переміщень, який для цього випадку формулюється так: "сума робіт всіх контактних, внутрішніх і інерційних сил на елементарних можливих переміщеннях дорівнює нулю". Ця умова записується так:

(2.31)

де – елементарна робота зовнішніх сил,

(2.32)

– елементарна робота внутрішніх сил,

(2.33)

– елементарна робота інерційних сил,

(2.34)

Робота вважається позитивною, якщо сила і переміщення направлені в одну сторону, і негативною, якщо в протилежні.

Для визначення елементарної роботи інерційних сил вважається, що робочий пуансон має сталу швидкість переміщення ()•

Якщо розглядати частинку, що міститься в одиночному шарі порошкового тіла, яке ущільнюється, то зміна зусилля преса на величину dP (рис. 23) призведе до переміщення цієї частинки разом із шаром на величинуЦе переміщення – наслідок дії контактних сил. Елементарне переміщення шару частинок, що розміщена на відстані від нижнього пуансона прес- форми, за умови відсутності сил зовнішнього тертя і постійності щільності в об'ємі пресування, може бути визначено так:

(2.35)

Тоді швидкість переміщення цього шару (частинки) становить

(2.36)

Відповідно, прискорення визначається як

(2.37)

Виходячи з прямолінійності частинки, радіус її траєкторії становить . Тоді при пресуванні зі стазою швидкістю навантаження елементарна робота інертних сил може покладатися рівною нулю, тобто

(2.38)

Елементарна робота зовнішніх сил становить

(2.39)

При цьому зусилля преса Р в даний момент пресування

Рисунок 23 – Схема деформації пресовки площею

може бути визначене як сума проекцій всіх контактних сил частинок перетину пресовки:

(2.40)

При переході до середньостатистичних величин вираз (2.40) можна записати так:

(2.41)

Тоді з урахуванням цієї залежності вираз (2.37) можна переписати у вигляді

(2.42)

Елементарна робота внутрішніх сил, що витрачається на подолання сил відштовхування і зрушення частинок, становить

(2.43)

Цей вираз при переході до середньостатистичних величин можна переписати у вигляді

(2.44)

Підставляючи в умову (2.31) значення з (2.19), (2.20), (2.23), (2.38), (2.42) і (2.44), знаходимо:

(2.45)

Розв'язуючи рівняння (2.45) щодо величини, одержуємо:

(2.46)

Виходячи з припущення, що більшість частинок переміщаються вертикально в напрямку, паралельному руху пуансона, для контактних зв'язків покладаємо умови:

(2.47)

Підставляючи ці значення у вираз (2.46), одержуємо

(2.48)

Диференціальне рівняння (2.50) можна записати так:

(2.49)

де

(2.50)

Інтегрування виразу (2.49) дає

(2.51)

Стала інтегрування С визначається з граничних умов при

(2.52)

При, звідки

(2.53)

Розглядаючи обидва вирази (2.52) і (2.53), визначаємо

(2.54)

Підставляючи значення С з (2.52) із (2.54) в (2.51), одержуємо:

(2.55)

Оскільки відносний контактний перетин має дуже маленьку площу, для практичних розрахунків він може покладатися рівним нулю,. Тоді вираз (2.55) можна записати так:

(2.56)

або враховуючи, що,

(2.57)

Вираз (2.57) є рівнянням, що описує деформаційний механізм ущільнення порошкового тіла при пресуванні.

Як відзначає Г.М. Жданович, викладене дає змогу:

• 1) встановити залежність між середньостатистичними величинами зближення частинок при навантаженні порошкового шнура і площею проекції поверхні контакту на площину, перпендикулярну до лінії силової взаємодії (2.13), (2.14);
• 2) визначити взаємозв'язок між середньостатистичною величиною нормальної контактної деформації і щільністю порошкового тіла (2.22);
• 3) встановити залежність між середньостатистичною величиною контактної поверхні і щільністю порошкового тіла (2.28) і (2.29);
• 4) встановити взаємозв'язок між проекцією сумарної контактної поверхні пресовки і її щільністю (2.57). Як було відзначено раніше, ця закономірність визначає деформаційний механізм ущільнення порошкового тіла.